ExerciceMaths approfondies, chapitre 2 — Applications · Généralités

Exercice 2

Démonstration

Dans chacun des cas suivants, dire si les deux applications $f$ et $g$ sont égales. Justifier en examinant les trois composantes d'une application.

1. $\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$ et $\begin{array}{r|ccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

2. $\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & (x+1)^{2} \end{array}$ et $\begin{array}{r|ccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x^{2}+2x+1 \end{array}$

3. $\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & |x| \end{array}$ et $\begin{array}{r|ccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \sqrt{x^{2}} \end{array}$

4. $\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}_{+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$ et $\begin{array}{r|ccl} g : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x \end{array}$

5. $\begin{array}{r|ccl} f : & \mathbb{R}^{*} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \dfrac{x}{x} \end{array}$ et $\begin{array}{r|ccl} g : & \mathbb{R}^{*} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & 1 \end{array}$

Corrigé

Deux applications sont égales lorsque leurs trois composantes le sont : même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et même image pour chaque élément.

1. Les ensembles de départ et les formules coïncident, mais les ensembles d'arrivée sont $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}_{+}$ : $\boxed{f \neq g}$ C'est exactement la distinction annoncée par le cours, et elle est loin d'être formelle : $f$ n'est pas surjective, alors que $g$ l'est.

2. Les ensembles coïncident, et pour tout réel $x$ on a $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ : $\boxed{f = g}$

3. Les ensembles coïncident, et pour tout réel $x$ on a $\sqrt{x^{2}}=|x|$ : $\boxed{f = g}$ On notera que $\sqrt{x^{2}}=x$ serait faux pour $x<0$ .

4. Les ensembles de départ sont $\mathbb{R}_{+}$ et $\mathbb{R}$ : $\boxed{f \neq g}$

5. Les ensembles coïncident, et pour tout réel non nul $x$ on a $\dfrac{x}{x}=1$ : $\boxed{f = g}$ L'exclusion de $0$ est ici indispensable : sur $\mathbb{R}$ tout entier, $f$ ne serait pas une application.

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Existence du produit cartésien Relations, fonctions Composition des applications

Thèmes

applications, égalité de deux applications, composition

Notions

application