Exercice 1

1. La définition du cours exige que chaque élément de $E$ possède une et une seule image.

(a) Chacun des trois points de $E$ est l'origine d'exactement une flèche : $$\boxed{\text{C'est une application.}}$$

(b) L'élément $2$ est l'origine de deux flèches, vers $a$ et vers $b$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas une application : l'élément } 2 \text{ a deux images.}}$$

(c) Aucune flèche ne part de l'élément $2$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas une application : l'élément } 2 \text{ n'a pas d'image.}}$$

(d) Chacun des trois points est l'origine d'exactement une flèche, toutes dirigées vers $b$ : $$\boxed{\text{C'est une application (constante).}}$$ Rien n'interdit à un élément de $F$ de recevoir plusieurs flèches, ni de n'en recevoir aucune : la condition ne porte que sur l'ensemble de départ.

2. On examine à chaque fois si tout élément de l'ensemble de départ possède une image dans l'ensemble d'arrivée.

(1) Le quotient $\dfrac{1}{x}$ n'est pas défini pour $x=0$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas une application : } 0 \text{ n'a pas d'image.}}$$

(2) La racine carrée n'est pas définie pour $x<0$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas une application : les réels strictement négatifs n'ont pas d'image.}}$$

(3) Tout réel possède un carré, et ce carré est positif, donc appartient bien à $\mathbb{R}_{+}$ : $$\boxed{\text{C'est une application.}}$$

(4) Tout entier relatif possède un carré, qui est un entier positif, donc un élément de $\mathbb{N}$ : $$\boxed{\text{C'est une application.}}$$

Piège : aux questions (3) et (4), il ne suffit pas que la formule ait un sens ; encore faut-il que le résultat appartienne à l'ensemble d'arrivée annoncé.