Exercice 1

(a) Le trinôme se factorise : $2x^{2} - 12x + 18 = 2(x - 3)^{2} \geqslant 0$ pour tout réel $x$. $$\boxed{D = \mathbb{R}}$$ (b) On a $x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$, qui est strictement positif sauf en $-2$. $$\boxed{D = \,]-\infty\,,-2[\, \cup \,]-2\,,+\infty[}$$ (c) Il faut $x \neq -7$ et $8 - 16x \geqslant 0$, puisque le dénominateur est un carré strictement positif. $$\boxed{D = \,]-\infty\,,-7[\, \cup \,\Big]-7\,,\frac{1}{2}\Big]}$$ (d) Il faut à la fois $x < 3$, $x \geqslant 1$ et $x \neq 2$. $$\boxed{D = [1\,,2[\, \cup \,]2\,,3[}$$ (e) Il faut $x > 0$ pour définir $\ln x$, puis $\ln x > 0$, c'est-à-dire $x > 1$. $$\boxed{D = \,]1\,,+\infty[}$$ (f) Il faut de plus $\ln(\ln x) > 0$, soit $\ln x > 1$, c'est-à-dire $x > \mathrm{e}$. $$\boxed{D = \,]\mathrm{e}\,,+\infty[}$$

La fonction (a) s'écrit, puisque $\sqrt{a^{2}} = |a|$ pour tout réel $a$, $$\boxed{\sqrt{2x^{2} - 12x + 18} = \sqrt{2}\,|x - 3|}.$$ Sa courbe est formée de deux demi-droites issues du point $(3, 0)$, de pentes $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ : c'est la courbe de $x \mapsto \sqrt{2}\,|x|$ translatée de $3\vec{\imath}$.

La figure montre un « V » de sommet $(3, 0)$, qui coupe l'axe des ordonnées en $3\sqrt{2}$ ; la racine carrée d'un carré produit une valeur absolue, et donc un point anguleux.

Piège : en (b), on écrit souvent $\ln\big((x + 2)^{2}\big) = 2\ln(x + 2)$, ce qui réduirait l'ensemble de définition à $]-2\,,+\infty[$ ; la formule correcte est $2\ln|x + 2|$.