Exercice 2

1. Si $f$ et $g$ sont paires, $(f + g)(-x) = f(x) + g(x)$ et $(fg)(-x) = f(x)g(x)$ : $f + g$ et $fg$ sont paires. Si elles sont impaires, $(f + g)(-x) = -(f + g)(x)$ et $(fg)(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$. Si $f$ est paire et $g$ impaire, $(fg)(-x) = -f(x)g(x)$. $$\boxed{\begin{array}{c|c|c} & f + g & fg \\ \hline \text{paire, paire} & \text{paire} & \text{paire} \\ \text{impaire, impaire} & \text{impaire} & \text{paire} \\ \text{paire, impaire} & \text{non déterminée} & \text{impaire} \end{array}}$$ Pour la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, $x \mapsto x^{2} + x$ n'est ni paire ni impaire, puisqu'elle vaut $2$ en $1$ et $0$ en $-1$, alors que $x^{2} + 0$ est paire, la fonction nulle étant impaire.

2. Si $f$ est paire, $g(f(-x)) = g(f(x))$ pour toute fonction $g$. Si $f$ est impaire, $g(f(-x)) = g(-f(x))$, qui vaut $g(f(x))$ si $g$ est paire et $-g(f(x))$ si $g$ est impaire. $$\boxed{g \circ f \text{ est paire dès que } f \text{ est paire ou } g \text{ paire} ; \ \text{impaire si } f \text{ et } g \text{ sont impaires}}$$ Les quatre cas sont donc déterminés.

3. Le calcul précédent montre que $h \circ f$ est paire pour toute fonction $h$. En revanche, la parité de $f \circ h$ n'est pas déterminée : avec $f(x) = x^{2}$, la fonction $h = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ donne $f \circ h = f$, paire, alors que $h : x \mapsto x + 1$ donne $x \mapsto (x + 1)^{2}$, qui n'est ni paire ni impaire. $$\boxed{h \circ f \text{ est paire} \qquad f \circ h \text{ : rien en général}}$$

À retenir : c'est la fonction appliquée en premier qui transmet sa parité.