Exercice 3

Les quatre fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$, qui est symétrique. Pour (b) et (c), on multiplie numérateur et dénominateur par une puissance de $\mathrm{e}^{x}$.

• (a) $\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{x} = -(\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x})$ : $\boxed{\text{impaire}}$

• (b) $\dfrac{\mathrm{e}^{-2x} - 1}{\mathrm{e}^{-2x} + 1} = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{2x}}{1 + \mathrm{e}^{2x}}$ en multipliant par $\mathrm{e}^{2x}$ : $\boxed{\text{impaire}}$

• (c) $\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{(\mathrm{e}^{-x} + 1)^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{2x}}{(1 + \mathrm{e}^{x})^{2}} = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x} + 1)^{2}}$ : $\boxed{\text{paire}}$

• (d) $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{-x} + 1} = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}} = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$, d'où $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{-x} + 1} - \dfrac{1}{2} = -\Big(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x} + 1} - \dfrac{1}{2}\Big)$ : $\boxed{\text{impaire}}$

La fonction $u : x \mapsto \frac{1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$ s'écrit $u = \frac{1}{2} + v$, avec $v$ impaire. D'après la proposition 1 du cours, sa courbe est la translatée de $\frac{1}{2}\vec{\jmath}$ d'une courbe symétrique par rapport à l'origine. $$\boxed{\text{la courbe de } u \text{ admet le point } \Big(0, \frac{1}{2}\Big) \text{ pour centre de symétrie}}$$ Les fonctions (a) et (b) sont $2\operatorname{sh}$ et $\operatorname{th}$, que le cours étudie en section 5.7.