Exercice 4

(a) L'expression a un sens pour $x < 2$, et vaut $-2\ln(2 - x)$. On part de $\ln$, on prend le symétrique par rapport à $(Oy)$, ce qui donne $x \mapsto \ln(-x)$, puis on translate de $2\vec{\imath}$, ce qui donne la fonction $x \mapsto \ln\big(-(x - 2)\big) = \ln(2 - x)$, et l'on applique enfin l'affinité d'axe $(Ox)$ et de rapport $-2$. $$\boxed{D = \,]-\infty\,,2[ \qquad \text{asymptote verticale } x = 2, \ \text{courbe passant par } (1, 0)}$$ (b) L'expression a un sens pour $x \geqslant \frac{2}{3}$, et $\sqrt{3x - 2} - 1 = \sqrt{3\big(x - \frac{2}{3}\big)} - 1$. On part de $\sqrt{\cdot}$, on applique l'affinité d'axe $(Oy)$ de rapport $\frac{1}{3}$ (proposition 1, (iii)), on translate de $\frac{2}{3}\vec{\imath}$, puis de $-\vec{\jmath}$. $$\boxed{D = \Big[\frac{2}{3}\,,+\infty\Big[ \qquad \text{origine de la courbe en } \Big(\frac{2}{3}, -1\Big), \ \text{passage par } (1, 0)}$$ (c) L'expression a un sens pour $x \neq -\frac{1}{2}$, et $\frac{4}{2x + 1} + 3 = \dfrac{2}{x + \frac{1}{2}} + 3$. On part de l'hyperbole $y = \frac{1}{x}$, on applique l'affinité d'axe $(Ox)$ de rapport $2$, puis la translation de vecteur $-\frac{1}{2}\vec{\imath} + 3\vec{\jmath}$. $$\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \Big\{-\frac{1}{2}\Big\} \qquad \text{asymptotes } x = -\frac{1}{2} \text{ et } y = 3, \ \text{centre de symétrie } \Big(-\frac{1}{2}, 3\Big)}$$

Les asymptotes sont en pointillés ocre : chaque courbe garde la forme de sa courbe de référence, seuls son emplacement et ses proportions changent.