Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 5

Fonctions usuelles et dérivation pratique

59 exercices corrigés · 11   33   14   1

Généralités sur les fonctions

• Exercice 1 Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes, en l'écrivant comme une réunion d'intervalles. (a) x ↦ √(2x^2 - 12x + 18)…
• Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, dire si la parité de la fonction obtenue est déterminée par les hypothèses; si oui, la démontrer, et sinon, donner…
• Exercice 3 Étudier la parité des fonctions suivantes, définies sur ℝ. (a) x ↦ e^x - e^(-x) (b) x ↦ (e^2x - 1)/(e^2x + 1) (c) x ↦ (e^x)/((e^x + 1)^2) (d) x ↦…
• Exercice 4 Pour chacune des fonctions suivantes, donner l'ensemble de définition, puis expliquer comment sa courbe se déduit, par des translations, des…
• Exercice 5 Soit D une partie de ℝ et T > 0. On dit que D est T -périodique si, pour tout x ∈ D, les réels x + T et x - T appartiennent encore à D. On note…
• Exercice 6 Soit α un réel non nul. Montrer que la fonction f: x ↦ cos x + cos (α x) est périodique si et seulement si α est rationnel. Indication: si T > 0 est…
• Exercice 7 Soit f: ℝ → ℝ une fonction telle que f ∘ f soit croissante et que f ∘ f ∘ f soit strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante.
• Exercice 8 On rappelle que la courbe d'une fonction f définie sur D admet le point Ω(a, b) pour centre de symétrie si, pour tout x ∈ D, le réel 2a - x…
• Exercice 9 Soit f: ℝ → ℝ une fonction dont la courbe admet deux centres de symétrie distincts Ω_1(a_1, b_1) et Ω_2(a_2, b_2). 1. Montrer que a_1 ≠ a_2. 2. En…

Dérivation

• Exercice 10 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l'ensemble de définition, préciser un ensemble sur lequel la fonction est dérivable d'après les…
• Exercice 11 Pour tout réel m, on note C_m la courbe de la fonction f_m: x ↦ (x + m)/(x^2 + 1). 1. Montrer que les tangentes aux courbes C_m en leur point…
• Exercice 12 1. Existe-t-il un point de la courbe du logarithme népérien en lequel la tangente passe par l'origine ? 2. On cherche le point de la courbe…
• Exercice 13 Étudier les branches infinies des fonctions suivantes: asymptotes éventuelles, et position de la courbe par rapport à ses asymptotes obliques…
• Exercice 14 On considère la fonction f: x ↦ x√((x - 1)/(x + 1)), et l'on suit le plan d'étude du cours. 1. Déterminer l'ensemble de définition D de f. La…
• Exercice 15 Démontrer les inégalités suivantes, en étudiant chaque fois une fonction bien choisie. (a) Pour tout x ≥ 0, sin x ≤ x; en déduire que |sin x| ≤ |x|…
• Exercice 16 Inégalité de Huygens. Montrer que, pour tout x ∈ [0, π/2 [, on a 2/3 sin x + 1/3 tan x ≥ x. Indication: on factorisera le polynôme 2c^3 - 3c^2 + 1,…
• Exercice 17 On considère la fonction f: x ↦ x^3 + x, définie sur ℝ. 1. Montrer que f réalise une bijection de ℝ sur ℝ, et que sa réciproque f^(-1) est dérivable…
• Exercice 18 Le plan est muni d'un repère orthonormé, et l'on note s: (x, y) ↦ (y, x) la symétrie par rapport à la première bissectrice Δ, comme dans le cours.…
• Exercice 19 Calculer, pour tout entier n ≥ 1, la dérivée n -ième de chacune des fonctions suivantes. On commencera par conjecturer la formule à l'aide des…
• Exercice 20 Pour tout entier n ≥ 1, on pose f_n(x) = x^(n-1) e^(1/x) pour x ≠ 0. 1. Calculer f_1', f_2'' et f_3^((3)). Conjecturer une expression simple de…

Exponentielle et logarithme

• Exercice 21 Résoudre dans ℝ les équations suivantes, en commençant chaque fois par déterminer l'ensemble des réels pour lesquels elles ont un sens. (a) e^2x -…
• Exercice 22 Résoudre les inéquations suivantes. (a) e^2x + 2 e^x - 3 ≤ 2, d'inconnue x ∈ ℝ. (b) ln (x - 1) + ln (x + 1) < 2ln x - 1, d'inconnue x ∈ ]1,+∞[. (c)…
• Exercice 23 Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues réelles x et y. (a) begin cases e^x e^2y = 5 e^2x e^(-y) = 1/25 end cases (b) begin cases 2ln x - 3ln y…
• Exercice 24 Le médecin légiste. D'après la loi de refroidissement de Newton, la température d'un corps placé dans une pièce à 20 ^(∘) C vérifie T(t) = A e^(-ct)…
• Exercice 25 1. Soit N un entier naturel non nul et k ≥ 1 un entier. Montrer que N s'écrit avec exactement k chiffres en base 10 si et seulement si k - 1 ≤ log…
• Exercice 26 1. Montrer que le réel log _10 2 n'est pas rationnel. 2. Montrer de même que (ln 3)/(ln 2) n'est pas rationnel. 3. Montrer que log _10 5 n'est pas…
• Exercice 27 1. Montrer que, pour tout x ≥ 0, x - (x^2)/2 ≤ ln (1 + x) ≤ x. 2. Montrer que, pour tout x ≥ 0, (x - 2) e^x + x + 2 ≥ 0. 3. À l'aide de l'inégalité…
• Exercice 28 1. Montrer que l'équation xln x = 1 admet une unique solution sur ]0,+∞[, et que celle-ci appartient à ]1, e[. 2. Montrer que l'équation e^-x^2 =…

Fonctions puissances et croissances comparées

• Exercice 29 Résoudre les équations et le système suivants, d'inconnues réelles. (a) 2^(x+4) + 3^x = 2^(x+2) + 3^(x+2) (b) 2^(x+1) + 4^x = 15 (c) x^√x = (√x)^x…
• Exercice 30 Déterminer les limites suivantes, en se ramenant chaque fois aux croissances comparées du cours. (a) ((ln x)^2)/(√x) en +∞ (b) x^(1/x) en +∞ (c)…
• Exercice 31 On considère la fonction f: x ↦ x^x. 1. Préciser l'ensemble de définition de f, et écrire f(x) à l'aide de l'exponentielle. 2. Étudier les…
• Exercice 32 On cherche tous les réels a > 0 tels que a^x ≥ x + 1 pour tout réel x. 1. Montrer que a = e convient. 2. Soit a > 0. Montrer que (a^x - 1)/x tend…
• Exercice 33 On considère la fonction g: x ↦ (ln x)/x sur ]0,+∞[, dont la courbe est représentée ci-dessous. 1. Étudier les variations et les limites de g, puis…

Fonctions circulaires réciproques

• Exercice 34 Calculer les nombres suivants. (a) Arcsin (- 1/2) (b) Arccos (- (√2)/2) (c) Arctan√3 (d) Arccos (cos 4π/3) (e) Arcsin(sin 3) (f) Arctan (tan 87π/5)…
• Exercice 35 Simplifier les expressions suivantes, après avoir précisé pour quels réels x elles ont un sens. (a) cos (Arctan x) (b) sin (Arctan x) (c) tan…
• Exercice 36 1. Tracer la courbe de la fonction x ↦ Arcsin(sin x). On étudiera sa parité et sa périodicité, puis on en donnera une expression simple sur [- π/2,…
• Exercice 37 Démontrer de deux façons différentes que, pour tout x ≥ 0, Arccos (1 - x)/(1 + x) = 2 Arctan√x: d'abord en étudiant la différence des deux membres,…
• Exercice 38 1. Soit a et b deux réels tels que ab ≠ 1. Montrer qu'il existe un entier k ∈ -1, 0, 1 tel que Arctan a + Arctan b = Arctan (a + b)/(1 - ab) + kπ,…
• Exercice 39 Résoudre les équations suivantes. Chaque fois que l'on applique une fonction aux deux membres, on vérifiera que l'on ne crée pas de fausses…
• Exercice 40 On considère la fonction f: x ↦ Arccos(4x^3 - 3x). 1. Déterminer l'ensemble de définition de f. 2. Rappeler l'expression de cos (3θ) en fonction de…
• Exercice 41 1. Montrer que, pour tout réel x, Arctan(x + 1) - Arctan x = Arctan 1/(x^2 + x + 1). 2. En déduire une expression simple de S_n = Σ_(k=0)^n Arctan…

Fonctions hyperboliques

• Exercice 42 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. (a) ch x = 2 (b) 5 ch x - 3 sh x = 4 (c) 3 sh x - ch x = 1 Soit ensuite a et b deux réels. Discuter, selon…
• Exercice 43 1. Montrer que, pour tous réels x et y, ch(x + y) = ch x ch y + sh x sh y et sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y. 2. En déduire une expression de th(x…
• Exercice 44 Soit n ∈ ℕ^() et x un réel non nul. 1. Montrer que (ch x + sh x)^n = ch(nx) + sh(nx). 2. Calculer les sommes C_n = Σ_(k=0)^n ch(kx) et S_n =…
• Exercice 45 1. Montrer que, pour tout réel x, Arctan(sh x) + Arccos(th x) = π/2. 2. Résoudre l'équation th x = 5/13, puis en déduire que Arctan 5/12 + Arccos…
• Exercice 46 Les réciproques des fonctions hyperboliques ne sont pas au programme, mais elles s'expriment à l'aide du logarithme. 1. Montrer que sh réalise une…
• Exercice 47 On étudie la fonction f: x ↦ x sh 1/x, définie sur ℝ^(). 1. Étudier la parité de f. 2. Déterminer les limites de f en 0^(+) et en +∞. Pour la…

Fonctions à valeurs complexes

• Exercice 48 Le cours a calculé les dérivées successives de x ↦ e^xcos x en la voyant comme la partie réelle de x ↦ e^((1+ i)x). On applique ici la même méthode…
• Exercice 49 Soit I un intervalle contenant 0. 1. Soit λ ∈ ℂ, et f: I → ℂ une fonction dérivable telle que f' = λ f et f(0) = 1. En dérivant t ↦ f(t) e^(-λ t),…

Exercices de synthèse

• Exercice 50 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Si f et g sont deux fonctions impaires de ℝ dans ℝ, alors g ∘…
• Exercice 51 L'exponentielle n'est pas une somme de fonctions périodiques. Pour toute fonction f: ℝ → ℝ et tout réel T > 0, on note Δ_T f la fonction x ↦ f(x +…
• Exercice 52 L'hyperbole sous deux angles. On identifie le plan au plan complexe, le point (x, y) ayant pour affixe x + i y, comme au chapitre 4. On note C = (ch…
• Exercice 53 On note g: w ↦ w e^w, définie sur [0,+∞[, et l'on considère une fonction W: [0,+∞[ → [0,+∞[ telle que W(x) e^(W(x)) = x pour tout x ≥ 0. On ne…
• Exercice 54 On cherche les droites tangentes à la fois à la parabole P d'équation y = x^2 et à la courbe L d'équation y = ln x. 1. Écrire l'équation de la…
• Exercice 55 Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. On pose, pour x > 0, f(x) = (ln (1 + ax))/(ln (1 + bx)). 1. On note psi: u ↦ ((1 + u)ln (1 + u))/u,…
• Exercice 56 Une identité binomiale obtenue par dérivation. Pour tout entier n ≥ 1, on note H_n = Σ_(k=1)^n 1/k, et l'on pose H_0 = 0. 1. Formule de Leibniz.…
• Exercice 57 Des tiroirs pour les arcs tangents. Soit A une partie finie de ℝ. On cherche à partir de quel cardinal de A on peut affirmer qu'il existe deux…
• Exercice 58 Inégalités de Young et de Hölder. Soit p et q deux réels de ]1,+∞[ tels que 1/p + 1/q = 1. 1. Montrer que, pour tous réels u ≥ 0 et v ≥ 0, uv ≤…
• Exercice 59 1. Déterminer toutes les fonctions f: ℝ → ℝ dérivables telles que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y. On pourra dériver la relation par…