Exercice 20

1. On trouve $f_{1}'(x) = -\frac{1}{x^{2}}\mathrm{e}^{1/x}$, puis $f_{2}'(x) = \mathrm{e}^{1/x} - \frac{1}{x}\mathrm{e}^{1/x}$, et $$f_{2}''(x) = -\frac{1}{x^{2}}\mathrm{e}^{1/x} + \frac{1}{x^{2}}\mathrm{e}^{1/x} + \frac{1}{x^{3}}\mathrm{e}^{1/x} = \frac{1}{x^{3}}\mathrm{e}^{1/x} ;$$ un calcul analogue donne $f_{3}^{(3)}(x) = -\frac{1}{x^{4}}\mathrm{e}^{1/x}$. $$\boxed{\text{conjecture : } f_{n}^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}}{x^{n+1}}\,\mathrm{e}^{1/x}}$$ 2. Pour $n = 0$, c'est la formule du produit : $(xg)' = g + xg'$. Si la formule est vraie au rang $n$ pour toute fonction $n + 2$ fois dérivable $g$, on dérive une fois de plus : $$\big(xg\big)^{(n+2)} = \big(x\,g^{(n+1)} + (n + 1)g^{(n)}\big)' = g^{(n+1)} + x\,g^{(n+2)} + (n + 1)g^{(n+1)} = x\,g^{(n+2)} + (n + 2)g^{(n+1)},$$ ce qui est la formule au rang $n + 1$. $$\boxed{\big(x\,g(x)\big)^{(n+1)} = x\,g^{(n+1)}(x) + (n + 1)\,g^{(n)}(x)}$$ 3. La formule est vraie pour $n = 1$. Supposons-la vraie au rang $n$, et notons $E = \mathrm{e}^{1/x}$. En dérivant l'hypothèse, $f_{n}^{(n+1)}(x) = (-1)^{n}\big(-\frac{n + 1}{x^{n+2}} - \frac{1}{x^{n+3}}\big)E$. La question 2, appliquée à $g = f_{n}$, donne alors $$f_{n+1}^{(n+1)}(x) = x f_{n}^{(n+1)}(x) + (n + 1) f_{n}^{(n)}(x) = (-1)^{n}\Big(-\frac{n + 1}{x^{n+1}} - \frac{1}{x^{n+2}} + \frac{n + 1}{x^{n+1}}\Big)E = \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}\,E.$$

$$\boxed{f_{n}^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n}}{x^{n+1}}\,\mathrm{e}^{1/x} \ \text{ pour tout } n \geqslant 1}$$ La question 2 est un cas particulier de la formule de Leibniz, qui donne la dérivée $n$-ième d'un produit et que le chapitre 9 démontrera en toute généralité.