Exercice 21

(a) Avec $t = \mathrm{e}^{x} > 0$, l'équation devient $t^{2} - t - 6 = (t - 3)(t + 2) = 0$, et seule la racine $t = 3$ est positive. $$\boxed{x = \ln 3}$$ (b) En multipliant par $\mathrm{e}^{x} \neq 0$, on obtient $3t^{2} - 20t - 7 = 0$, de discriminant $484 = 22^{2}$, de racines $7$ et $-\frac{1}{3}$. $$\boxed{x = \ln 7}$$ (c) L'équation a un sens pour $x^{2} > 1$ et $x > \frac{1}{4}$, c'est-à-dire $x > 1$. Elle équivaut alors, par injectivité de $\ln$, à $4(x^{2} - 1) = 4x - 1$, soit $4x^{2} - 4x - 3 = 0$, de racines $\frac{3}{2}$ et $-\frac{1}{2}$. $$\boxed{x = \frac{3}{2}}$$ (d) L'équation a un sens pour $x > 1$, et s'écrit $\ln\frac{x + 2}{x + 1} = \ln(x - 1)$, soit $x + 2 = (x - 1)(x + 1)$, c'est-à-dire $x^{2} - x - 3 = 0$. Des deux racines $\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, seule la plus grande est supérieure à $1$. $$\boxed{x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}}$$ (e) On remarque que $4x^{2} + 3x - 7 = (x - 1)(4x + 7)$. L'équation a un sens pour $x \notin \{1, -2, -\frac{7}{4}\}$, et s'écrit alors $\ln\big(|x - 1|\,|x + 2|\big) = \ln\big(|x - 1|\,|4x + 7|\big)$, soit $|x + 2| = |4x + 7|$. Les cas $x + 2 = 4x + 7$ et $x + 2 = -(4x + 7)$ donnent $x = -\frac{5}{3}$ et $x = -\frac{9}{5}$, qui ne sont pas exclus. $$\boxed{x \in \Big\{-\frac{9}{5}, -\frac{5}{3}\Big\}}$$ (f) L'équation a un sens pour $x \neq 0$, et $\ln(x^{2}) = 2$ équivaut à $x^{2} = \mathrm{e}^{2}$. $$\boxed{x = \mathrm{e} \ \text{ ou } \ x = -\mathrm{e}}$$ L'élève a utilisé la formule $\ln(x^{n}) = n\ln x$, qui n'est valable que pour $x > 0$ (proposition 6), et a ainsi perdu la solution $-\mathrm{e}$. La formule valable pour tout $x \neq 0$ est $\ln(x^{2}) = 2\ln|x|$.