Exercice 22

(a) Avec $t = \mathrm{e}^{x} > 0$, l'inéquation s'écrit $t^{2} + 2t - 5 \leqslant 0$ ; les racines du trinôme sont $-1 \pm \sqrt{6}$, et le trinôme est négatif entre elles. Pour $t > 0$, cela donne $t \leqslant \sqrt{6} - 1$. $$\boxed{x \in \big]-\infty\,,\ln(\sqrt{6} - 1)\big]}$$ (b) Pour $x > 1$, l'inéquation s'écrit $\ln\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} < -1$, soit $1 - \frac{1}{x^{2}} < \frac{1}{\mathrm{e}}$, c'est-à-dire $x^{2} < \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}$. $$\boxed{x \in \Big]1\,,\sqrt{\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}}\,\Big[ \approx \,]1\,;1{,}258[}$$ (c) L'inéquation a un sens pour $x > -\frac{1}{2}$ et $x^{2} > 2$, soit $x > \sqrt{2}$. Par croissance stricte de $\ln$, elle équivaut à $2x + 1 \geqslant x^{2} - 2$, soit $x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \leqslant 0$, c'est-à-dire $-1 \leqslant x \leqslant 3$. $$\boxed{x \in \,]\sqrt{2}\,,3]}$$