Exercice 23

(a) En prenant le logarithme, le système devient linéaire : $x + 2y = \ln 5$ et $2x - y = -2\ln 5$. La seconde équation donne $y = 2x + 2\ln 5$, puis la première $5x + 4\ln 5 = \ln 5$. $$\boxed{x = -\frac{3}{5}\ln 5, \qquad y = \frac{4}{5}\ln 5}$$ (b) Il faut $x > 0$ et $y > 0$. La première équation s'écrit $\ln(x^{2}) = \ln(2y^{3})$, soit $x^{2} = 2y^{3}$, et l'on remplace $x$ par $y + 2$ : $2y^{3} - (y + 2)^{2} = 2y^{3} - y^{2} - 4y - 4 = 0$. Cette équation admet la racine $y = 2$, et $2y^{3} - y^{2} - 4y - 4 = (y - 2)(2y^{2} + 3y + 2)$, où le second facteur a un discriminant $9 - 16 < 0$. $$\boxed{(x, y) = (4, 2)}$$ On vérifie : $2\ln 4 - 3\ln 2 = 4\ln 2 - 3\ln 2 = \ln 2$ ✓.