Exercice 19

On utilise deux formules, qui se démontrent par une récurrence immédiate : pour $a \neq 0$ et $b$ réels, $\big(\cos(ax + b)\big)^{(n)} = a^{n}\cos\big(ax + b + n\frac{\pi}{2}\big)$, de même avec le sinus, puisque dériver revient à ajouter $\frac{\pi}{2}$ à l'argument ; et $\Big(\dfrac{1}{ax + b}\Big)^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n}\,n!\,a^{n}}{(ax + b)^{n+1}}$.

(a) $\boxed{\big(\cos(3x)\big)^{(n)} = 3^{n}\cos\Big(3x + \frac{n\pi}{2}\Big)}$

(b) On décompose $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\Big)$. $$\boxed{\Big(\frac{1}{x^{2} - 1}\Big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{2}\Big(\frac{1}{(x - 1)^{n+1}} - \frac{1}{(x + 1)^{n+1}}\Big)}$$ (c) On factorise $2 + 5x - 3x^{2} = (3x + 1)(2 - x)$, puis on cherche $\frac{1}{(3x + 1)(2 - x)} = \frac{\alpha}{3x + 1} + \frac{\beta}{2 - x}$ ; en multipliant par $2 - x$ puis en faisant $x = 2$, on trouve $\beta = \frac{1}{7}$, et de même $\alpha = \frac{3}{7}$. $$\boxed{\Big(\frac{1}{2 + 5x - 3x^{2}}\Big)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{7}\Big(\frac{3^{n+1}}{(3x + 1)^{n+1}} - \frac{1}{(x - 2)^{n+1}}\Big)}$$ (d) La formule $\sin p\cos q = \frac{1}{2}\big(\sin(p + q) + \sin(p - q)\big)$ du chapitre 4 donne $$\sin(5x - 2)\cos(2x + 1) = \frac{1}{2}\big(\sin(7x - 1) + \sin(3x - 3)\big).$$

$$\boxed{\big(\sin(5x - 2)\cos(2x + 1)\big)^{(n)} = \frac{1}{2}\Big(7^{n}\sin\Big(7x - 1 + \frac{n\pi}{2}\Big) + 3^{n}\sin\Big(3x - 3 + \frac{n\pi}{2}\Big)\Big)}$$ À retenir : on ne dérive pas un produit $n$ fois ; on le transforme d'abord en somme, par décomposition ou par linéarisation.