Exercice 18

1. D'après la proposition 4, $s(\Gamma_{f}) = \Gamma_{f^{-1}}$. Donc $s(\Gamma_{f}) = \Gamma_{f}$ équivaut à $\Gamma_{f^{-1}} = \Gamma_{f}$, c'est-à-dire à $f^{-1} = f$, puisqu'une fonction est déterminée par sa courbe ; et $f^{-1} = f$ équivaut à $f \circ f = \mathrm{id}_{I}$. $$\boxed{s(\Gamma_{f}) = \Gamma_{f} \iff f \circ f = \mathrm{id}_{I}}$$ 2. On écrit $f(x) = 1 + \frac{3}{x - 1}$, qui ne vaut jamais $1$ : $f$ envoie $I$ dans $I$. Pour $x \in I$, $$f(f(x)) = \frac{\frac{x + 2}{x - 1} + 2}{\frac{x + 2}{x - 1} - 1} = \frac{x + 2 + 2x - 2}{x + 2 - x + 1} = \frac{3x}{3} = x.$$ D'après le théorème 1 du chapitre 2, avec $g = f$, l'application $f$ est bijective et $f^{-1} = f$. $$\boxed{f \circ f = \mathrm{id}_{I}, \quad f^{-1} = f}$$ 3. L'équation $f(x) = x$ s'écrit $x + 2 = x^{2} - x$, soit $x^{2} - 2x - 2 = 0$. $$\boxed{\Gamma_{f} \cap \Delta = \big\{(1 - \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}),\ (1 + \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})\big\}}$$

La courbe est une hyperbole d'asymptotes $x = 1$ et $y = 1$, deux droites échangées par la symétrie $s$ ; ses deux branches sont chacune symétriques par rapport à $\Delta$, qu'elles coupent aux deux points calculés.

4. Le cas $a^{2} + bc = 0$ est exclu parce que la fonction serait alors constante. On calcule $f(f(x))$ en multipliant numérateur et dénominateur par $cx - a$ : $$f(f(x)) = \frac{a(ax + b) + b(cx - a)}{c(ax + b) - a(cx - a)} = \frac{(a^{2} + bc)\,x}{a^{2} + bc} = x.$$

$$\boxed{x \mapsto \frac{ax + b}{cx - a} \text{ est sa propre réciproque sur } \mathbb{R} \setminus \Big\{\frac{a}{c}\Big\}}$$ L'exemple de la question 2 correspond à $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.