Exercice 17

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0$ : elle est strictement croissante, et tend vers $\pm\infty$ en $\pm\infty$. D'après le théorème 2, $f(\mathbb{R})$ est un intervalle, non majoré et non minoré, donc égal à $\mathbb{R}$, et $f^{-1}$ est dérivable puisque $f'$ ne s'annule pas. $$\boxed{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ bijective}, \quad (f^{-1})'(y) = \frac{1}{3f^{-1}(y)^{2} + 1}}$$ 2. On a $f(0) = 0$, $f(1) = 2$ et $f(2) = 10$, d'où, avec la formule du théorème 2 : $$\boxed{f^{-1}(0) = 0, \ f^{-1}(2) = 1, \ f^{-1}(10) = 2 \qquad (f^{-1})'(0) = 1, \ (f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}, \ (f^{-1})'(10) = \frac{1}{13}}$$ 3. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice (proposition 4), et toutes deux sont tangentes à l'origine à la droite $y = x$, puisque $f'(0) = (f^{-1})'(0) = 1$.

La courbe de $f$, en ardoise, se replie sur celle de $f^{-1}$, en bleu pétrole, par pliage le long de la bissectrice ; les deux courbes se croisent à l'origine, où elles ont la même tangente.

4. Le théorème 2 exige aussi que $f'$ ne s'annule pas. Or $g'(0) = 0$ : la tangente à la courbe de $g$ en $0$ est horizontale, sa symétrique est verticale, et le taux d'accroissement de $g^{-1}$ en $0$, égal à $\frac{g^{-1}(y)}{y} = \frac{1}{g^{-1}(y)^{2}}$, tend vers $+\infty$. $$\boxed{g^{-1} \text{ est dérivable sur } \mathbb{R}^{*} \text{ mais pas en } 0}$$