Exercice 16

Posons $g(x) = 2\sin x + \tan x - 3x$ sur $[0\,,\frac{\pi}{2}[$ ; l'inégalité demandée s'écrit $g \geqslant 0$. En notant $c = \cos x$, qui appartient à $]0\,,1]$, on obtient $$g'(x) = 2c + \frac{1}{c^{2}} - 3 = \frac{2c^{3} - 3c^{2} + 1}{c^{2}} = \frac{(c - 1)^{2}(2c + 1)}{c^{2}} \geqslant 0,$$ la factorisation s'obtenant en divisant par $c - 1$, puis en remarquant que $2c^{2} - c - 1$ s'annule encore en $1$. Donc $g$ est croissante, et $g(0) = 0$. $$\boxed{\frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3}\tan x \geqslant x \ \text{ sur } \Big[0\,,\frac{\pi}{2}\Big[}$$ Christiaan Huygens s'en servait pour approcher $\pi$ : appliquée à $x = \frac{\pi}{n}$, l'inégalité encadre l'arc par une moyenne pondérée des côtés des polygones inscrit et circonscrit.