Exercice 15

(a) La fonction $u : x \mapsto x - \sin x$ a pour dérivée $1 - \cos x \geqslant 0$ : elle est croissante, et $u(0) = 0$, donc $\sin x \leqslant x$ pour $x \geqslant 0$. Pour majorer $|\sin x|$, il faut aussi $-\sin x \leqslant x$ : c'est clair si $x \geqslant 1$, puisque $|\sin x| \leqslant 1$, et si $0 \leqslant x \leqslant 1$, alors $x \in [0\,,\pi]$ et $\sin x \geqslant 0$. La parité conclut pour $x < 0$. $$\boxed{|\sin x| \leqslant |x| \ \text{ pour tout réel } x}$$ (b) La fonction $v : x \mapsto \cos x - 1 + \frac{x^{2}}{2}$ a pour dérivée $x - \sin x$, positive sur $[0\,,+\infty[$ d'après (a) : $v$ y est croissante, et $v(0) = 0$. Comme $v$ est paire, $v \geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{1 - \frac{x^{2}}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1}$$ (c) La fonction $w : x \mapsto \tan x - x$ a pour dérivée $\tan^{2} x \geqslant 0$ sur $[0\,,\frac{\pi}{2}[$, et $w(0) = 0$. $$\boxed{\tan x \geqslant x \ \text{ sur } \Big[0\,,\frac{\pi}{2}\Big[}$$ (d) Posons $g(x) = \frac{\sin x}{x}$ sur $]0\,,\frac{\pi}{2}]$ ; alors $g'(x) = \frac{h(x)}{x^{2}}$ avec $h(x) = x\cos x - \sin x$. Or $h'(x) = -x\sin x \leqslant 0$ et $h(0) = 0$, donc $h \leqslant 0$ : $g$ est décroissante, et $g(x) \geqslant g(\frac{\pi}{2}) = \frac{2}{\pi}$. L'inégalité est aussi vraie en $0$. $$\boxed{\sin x \geqslant \frac{2}{\pi}\,x \ \text{ sur } \Big[0\,,\frac{\pi}{2}\Big]}$$ Graphiquement, sur $[0\,,\frac{\pi}{2}]$, la courbe du sinus est au-dessus de sa corde joignant $(0, 0)$ à $(\frac{\pi}{2}, 1)$ ; le chapitre 9 y reconnaîtra la concavité du sinus.