Exercice 55

1. La fonction $\psi$ est dérivable sur $]0\,,+\infty[$, et $$\psi'(u) = \frac{\big(\ln(1 + u) + 1\big)u - (1 + u)\ln(1 + u)}{u^{2}} = \frac{u - \ln(1 + u)}{u^{2}} > 0,$$ d'après l'inégalité stricte $\ln(1 + u) < u$ pour $u \neq 0$ (proposition 6). $$\boxed{\psi \text{ est strictement croissante}}$$ 2. La formule du quotient donne $$f'(x) = \frac{\frac{a}{1 + ax}\ln(1 + bx) - \frac{b}{1 + bx}\ln(1 + ax)}{\ln^{2}(1 + bx)}.$$ En multipliant le numérateur par $(1 + ax)(1 + bx) > 0$, on obtient $$a(1 + bx)\ln(1 + bx) - b(1 + ax)\ln(1 + ax) = abx\,\big(\psi(bx) - \psi(ax)\big).$$ Comme $bx > ax$, ce nombre est strictement positif : $f$ est strictement croissante. En $0^{+}$, on écrit $$f(x) = \frac{a}{b}\cdot\frac{\ln(1 + ax)}{ax}\cdot\frac{bx}{\ln(1 + bx)},$$ et chaque quotient tend vers $\ln'(1) = 1$. En $+\infty$, $\ln(1 + ax) = \ln x + \ln\big(a + \frac{1}{x}\big)$, et de même au dénominateur. $$\boxed{f \text{ strictement croissante}, \qquad \lim_{0^{+}} f = \frac{a}{b}, \qquad \lim_{+\infty} f = 1}$$ 3. Comme $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$, on a $f\big(\frac{1}{b}\big) < f\big(\frac{1}{a}\big)$, c'est-à-dire $\dfrac{\ln(1 + \frac{a}{b})}{\ln 2} < \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + \frac{b}{a})}$. Les dénominateurs étant positifs, on obtient $$\boxed{\ln\Big(1 + \frac{a}{b}\Big)\ln\Big(1 + \frac{b}{a}\Big) < (\ln 2)^{2}}.$$ Lorsque $a = b$, le membre de gauche vaut $(\ln 2)^{2}$ : l'inégalité large reste vraie, avec égalité. Ainsi, parmi les couples $(t, \frac{1}{t})$, le produit $\ln(1 + t)\ln(1 + \frac{1}{t})$ est maximal pour $t = 1$.