Exercice 54

1. Les tangentes ont pour équations $$\boxed{\mathcal{P} : y = 2ax - a^{2} \qquad \mathcal{L} : y = \frac{x}{b} + \ln b - 1}.$$ 2. Deux droites non verticales sont confondues si et seulement si elles ont même pente et même ordonnée à l'origine : $2a = \frac{1}{b}$ et $-a^{2} = \ln b - 1$. En reportant $a = \frac{1}{2b}$ dans la seconde équation, on obtient $\ln b - 1 + \frac{1}{4b^{2}} = 0$. $$\boxed{\text{tangentes confondues} \iff a = \frac{1}{2b} \ \text{ et } \ h(b) = 0}$$ 3. On a $h'(b) = \frac{1}{b} - \frac{1}{2b^{3}} = \frac{2b^{2} - 1}{2b^{3}}$ : $h$ décroît sur $]0\,,\frac{1}{\sqrt{2}}]$ et croît sur $[\frac{1}{\sqrt{2}}\,,+\infty[$, avec un minimum $$h\Big(\frac{1}{\sqrt{2}}\Big) = -\frac{\ln 2}{2} - 1 + \frac{1}{2} = -\frac{1 + \ln 2}{2} < 0.$$ En $0^{+}$, $h(b) = \frac{1}{4b^{2}}\big(1 + 4b^{2}\ln b - 4b^{2}\big) \to +\infty$, puisque $b^{2}\ln b \to 0$ par croissances comparées ; en $+\infty$, $h(b) \to +\infty$. Sur chacun des deux intervalles, $h$ est strictement monotone et prend des valeurs de signes opposés : d'après le théorème 2, elle s'y annule exactement une fois. $$\boxed{\mathcal{P} \text{ et } \mathcal{L} \text{ ont exactement deux tangentes communes}}$$ 4. On calcule $h(0{,}3) \approx 0{,}57$, $h(0{,}4) \approx -0{,}35$, $h(2{,}6) \approx -0{,}0075$ et $h(2{,}7) \approx 0{,}028$. $$\boxed{b_{1} \in \,]0{,}3\,;0{,}4[ \qquad b_{2} \in \,]2{,}6\,;2{,}7[}$$ Plus précisément, $b_{1} \approx 0{,}349$ et $b_{2} \approx 2{,}621$, ce qui donne les tangentes $y \approx 2{,}865x - 2{,}053$ et $y \approx 0{,}382x - 0{,}036$.

Les deux tangentes communes, en ocre, touchent chacune la parabole et la courbe du logarithme ; les points de contact, en carmin, sont ceux qui ont été calculés. L'une est presque horizontale, l'autre très pentue : elles correspondent aux deux racines de $h$, de part et d'autre de son minimum.