Exercice 53

1. La fonction $g$ est dérivable sur $[0\,,+\infty[$, de dérivée $g'(w) = (1 + w)\,\mathrm{e}^{w} > 0$ : elle est strictement croissante, avec $g(0) = 0$ et $g(w) \to +\infty$. D'après le théorème 2, $g([0\,,+\infty[)$ est un intervalle qui contient $0$ et n'est pas majoré, donc c'est $[0\,,+\infty[$. Pour $x \geqslant 0$, l'hypothèse s'écrit $g(W(x)) = x = g\big(g^{-1}(x)\big)$, et l'injectivité de $g$ donne $W(x) = g^{-1}(x)$. $$\boxed{g : [0\,,+\infty[ \to [0\,,+\infty[ \text{ bijective, et } W = g^{-1}}$$ 2. D'après le théorème 2, $W$ est strictement croissante, comme $g$, et dérivable sur $[0\,,+\infty[$, puisque $g'$ ne s'annule pas, avec $$W'(x) = \frac{1}{g'(W(x))} = \frac{1}{\big(1 + W(x)\big)\mathrm{e}^{W(x)}}.$$ Pour $x > 0$, on a $W(x) > 0$ et $\mathrm{e}^{W(x)} = \frac{x}{W(x)}$. $$\boxed{W'(x) = \frac{W(x)}{x\,\big(1 + W(x)\big)} \quad \text{pour } x > 0}$$ 3. On a $g(0) = 0$ et $g(1) = \mathrm{e}$, donc $W(0) = 0$ et $W(\mathrm{e}) = 1$. La formule précédente donne $W'(\mathrm{e}) = \frac{1}{2\mathrm{e}}$, et la première expression de $W'$ donne $W'(0) = \frac{1}{g'(0)} = 1$. $$\boxed{W(0) = 0, \quad W(\mathrm{e}) = 1, \quad W'(\mathrm{e}) = \frac{1}{2\mathrm{e}}, \quad W'(0) = 1}$$ La fonction $W$, appelée fonction de Lambert, n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles ; tout ce qu'on en sait vient de sa définition comme réciproque, ce qui illustre la force du théorème 2.