Exercice 52

1. Pour tout réel $t$, la proposition 10 du cours donne $\operatorname{ch}^{2} t - \operatorname{sh}^{2} t = 1$ et $\operatorname{ch} t \geqslant 1 > 0$ : le point $(\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t)$ appartient à la branche annoncée. Réciproquement, soit $(x, y)$ tel que $x^{2} - y^{2} = 1$ et $x > 0$. La fonction $\operatorname{sh}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ (exercice 46, question 1) : il existe un unique réel $t$ tel que $\operatorname{sh} t = y$. Alors $x^{2} = 1 + \operatorname{sh}^{2} t = \operatorname{ch}^{2} t$, et comme $x$ et $\operatorname{ch} t$ sont strictement positifs, $x = \operatorname{ch} t$. L'unicité de $t$ vient de l'injectivité de $\operatorname{sh}$ : deux paramètres qui donnent le même point donnent la même ordonnée. $$\boxed{\mathcal{C} = \big\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} - y^{2} = 1 \text{ et } x > 0\big\}, \text{ chaque point ayant un unique paramètre}}$$ Attention : $\mathcal{C}$ n'est pas l'hyperbole entière. Les points de la branche gauche, d'abscisse négative, ne sont jamais atteints, puisque $\operatorname{ch} t \geqslant 1$ ; on les obtient avec $(-\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t)$.

2. D'après le théorème 5 du chapitre 4, la similitude de centre $O$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ est $z \mapsto \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}z$, et $\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} = 1 + \mathrm{i}$. Pour $z = x + \mathrm{i} y$, on a $(1 + \mathrm{i})(x + \mathrm{i} y) = (x - y) + \mathrm{i}(x + y)$. La réciproque est $w \mapsto \frac{w}{1 + \mathrm{i}} = \frac{1 - \mathrm{i}}{2}\,w$, et $\frac{1 - \mathrm{i}}{2}(x + \mathrm{i} y) = \frac{x + y}{2} + \mathrm{i}\,\frac{y - x}{2}$. $$\boxed{f(z) = (1 + \mathrm{i})z, \qquad f(x, y) = (x - y,\ x + y), \qquad f^{-1}(x, y) = \Big(\frac{x + y}{2},\ \frac{y - x}{2}\Big)}$$

3. Pour tout réel $t$, la proposition 10 (i), appliquée en $t$ et en $-t$, donne $$f(\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t) = (\operatorname{ch} t - \operatorname{sh} t,\ \operatorname{ch} t + \operatorname{sh} t) = (\mathrm{e}^{-t},\ \mathrm{e}^{t}).$$ Ce point a une abscisse strictement positive et une ordonnée égale à l'inverse de son abscisse : il appartient à $\mathcal{H}$. Réciproquement, un point $(x, \frac{1}{x})$ de $\mathcal{H}$, avec $x > 0$, est l'image du point de $\mathcal{C}$ de paramètre $t = -\ln x$. $$\boxed{f(\mathcal{C}) = \mathcal{H}}$$ Les asymptotes ont pour images $f(x, x) = (0, 2x)$ et $f(x, -x) = (2x, 0)$ : la droite $y = x$ est envoyée sur l'axe des ordonnées, et la droite $y = -x$ sur l'axe des abscisses, qui sont bien les asymptotes de la courbe de la fonction inverse.

La branche d'hyperbole $\mathcal{C}$, en ardoise, et la courbe $\mathcal{H}$ de la fonction inverse, en ocre, se correspondent par la similitude $f$ : le point $M$ de paramètre $t = 0{,}6$ a pour image le point $f(M) = (\mathrm{e}^{-0{,}6}, \mathrm{e}^{0{,}6})$, obtenu en tournant le segment $[OM]$, en pointillés, d'un angle $\frac{\pi}{4}$ et en multipliant sa longueur par $\sqrt{2}$.

4. Les formules d'addition de l'exercice 43, question 1, donnent $$\rho_{s}(\operatorname{ch} t, \operatorname{sh} t) = (\operatorname{ch} t\operatorname{ch} s + \operatorname{sh} t\operatorname{sh} s,\ \operatorname{ch} t\operatorname{sh} s + \operatorname{sh} t\operatorname{ch} s) = \big(\operatorname{ch}(t + s),\ \operatorname{sh}(t + s)\big).$$

$$\boxed{\rho_{s} \text{ envoie le point de paramètre } t \text{ sur le point de paramètre } t + s}$$ Soit $(X, Y)$ un point du plan et $(x, y) = f^{-1}(X, Y)$, de sorte que $X = x - y$ et $Y = x + y$. Notons $(x', y') = \rho_{s}(x, y)$. En regroupant les termes, $$x' - y' = (x - y)(\operatorname{ch} s - \operatorname{sh} s) = \mathrm{e}^{-s}X \qquad\text{et}\qquad x' + y' = (x + y)(\operatorname{ch} s + \operatorname{sh} s) = \mathrm{e}^{s}Y,$$ et le point $f(x', y')$ a pour coordonnées $(x' - y', x' + y')$. $$\boxed{f \circ \rho_{s} \circ f^{-1} : (X, Y) \longmapsto (\mathrm{e}^{-s}X,\ \mathrm{e}^{s}Y)}$$ Cette dernière application conserve le produit $XY$. Or $XY = (x - y)(x + y) = x^{2} - y^{2}$, et l'on a de même $(x' - y')(x' + y') = \mathrm{e}^{-s}X\,\mathrm{e}^{s}Y = XY$. $$\boxed{\rho_{s} \text{ conserve } x^{2} - y^{2}}$$ L'application $\rho_{s}$ joue pour l'hyperbole le rôle que joue la rotation d'angle $s$ pour le cercle : celle-ci conserve $x^{2} + y^{2}$ et ajoute $s$ au paramètre du point $(\cos t, \sin t)$. On l'appelle rotation hyperbolique. En relativité restreinte, les changements de référentiel inertiel, ou transformations de Lorentz, agissent sur les coordonnées $(ct, x)$ d'un événement par des applications de cette forme, qui conservent $c^{2}t^{2} - x^{2}$ ; le paramètre $s$ y est appelé rapidité, la vitesse correspondante vaut $c\operatorname{th} s$, et la formule de $\operatorname{th}(x + y)$ de l'exercice 43 devient la loi de composition des vitesses, qui ne permet jamais de dépasser $c$.