Exercice 51

1. Pour tout réel $x$, on a $$\Delta_{T}(\lambda f + g)(x) = \lambda f(x + T) + g(x + T) - \lambda f(x) - g(x) = \lambda\,\Delta_{T} f(x) + \Delta_{T} g(x).$$ Les fonctions $\Delta_{S}(\Delta_{T} f)$ et $\Delta_{T}(\Delta_{S} f)$ prennent toutes deux en $x$ la valeur suivante, qui est symétrique en $S$ et $T$ : $$f(x + S + T) - f(x + S) - f(x + T) + f(x).$$ Enfin, $\Delta_{T} f = 0$ signifie que $f(x + T) = f(x)$ pour tout réel $x$. $$\boxed{\Delta_{T} \text{ est linéaire}, \quad \Delta_{S}\Delta_{T} = \Delta_{T}\Delta_{S}, \quad \Delta_{T} f = 0 \iff f \text{ est } T\text{-périodique}}$$

2. D'après la proposition 5 du cours, $\mathrm{e}^{x + T} - \mathrm{e}^{x} = (\mathrm{e}^{T} - 1)\mathrm{e}^{x}$ pour tout réel $x$. $$\boxed{\Delta_{T}\exp = (\mathrm{e}^{T} - 1)\exp}$$ Supposons que $\exp = f_{1} + \dots + f_{n}$, où chaque $f_{i}$ est $T_{i}$-périodique, avec $T_{i} > 0$, et notons $\Delta$ l'opération qui consiste à appliquer successivement $\Delta_{T_{1}}$, …, $\Delta_{T_{n}}$. D'une part, la formule précédente, appliquée $n$ fois, donne $$\Delta\exp = (\mathrm{e}^{T_{1}} - 1)(\mathrm{e}^{T_{2}} - 1)\cdots(\mathrm{e}^{T_{n}} - 1)\exp,$$ qui n'est pas la fonction nulle, puisque chaque facteur $\mathrm{e}^{T_{i}} - 1$ est strictement positif. D'autre part, la linéarité donne $\Delta\exp = \Delta f_{1} + \dots + \Delta f_{n}$. Comme les opérations $\Delta_{T_{j}}$ commutent, on peut, pour calculer $\Delta f_{i}$, appliquer $\Delta_{T_{i}}$ en premier : on obtient la fonction nulle, que les opérations suivantes laissent nulle, par linéarité. Ainsi $\Delta\exp = 0$, ce qui est absurde. $$\boxed{\exp \text{ n'est pas la somme d'un nombre fini de fonctions périodiques}}$$

3. Notons $c : x \mapsto x^{2}$. On calcule $\Delta_{T} c(x) = (x + T)^{2} - x^{2} = 2Tx + T^{2}$, puis $$\Delta_{S}(\Delta_{T} c)(x) = 2T(x + S) + T^{2} - 2Tx - T^{2} = 2ST.$$ Si l'on avait $c = f_{1} + f_{2}$, avec $f_{i}$ de période $T_{i} > 0$, l'opération $\Delta_{T_{1}}\Delta_{T_{2}}$ donnerait, comme à la question 2, la fonction nulle au second membre, et la constante $2T_{1}T_{2} \neq 0$ au premier : c'est impossible. $$\boxed{x \mapsto x^{2} \text{ n'est pas la somme de deux fonctions périodiques}}$$ Pour la fonction $x \mapsto x$, on trouve $\Delta_{T}(x \mapsto x) = T$, puis $\Delta_{S}\Delta_{T}(x \mapsto x) = 0$ : le même raisonnement ne fournit que l'égalité $0 = 0$, et ne conclut pas. Il montre seulement que $x \mapsto x$ n'est pas périodique. Ce n'est pas une faiblesse de la méthode : l'exercice 79 de la feuille du chapitre 14 montrera que $x \mapsto x$ est la somme de deux fonctions périodiques, nécessairement très irrégulières, puisque leur construction repose sur l'axiome du choix.

À retenir : la méthode consiste à traduire l'hypothèse « $f$ est $T$-périodique » par l'équation $\Delta_{T} f = 0$, où $\Delta_{T}$ est une opération linéaire, puis à exhiber une fonction que $\Delta_{T}$ multiplie simplement par une constante non nulle. L'exponentielle joue ce rôle pour $\Delta_{T}$ comme pour la dérivation, et c'est ce qui la rend si commode. Sans aucune hypothèse de continuité, l'argument est purement algébrique ; l'exercice 21 de la feuille du chapitre 11 montrera de son côté que la somme de deux fonctions périodiques n'est pas toujours périodique.