ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 5 — Fonctions usuelles et dérivation pratique · Exercices de synthèse

Exercice 50

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions impaires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , alors $g \circ f$ est impaire.

2. Toute fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

3. Pour tout réel $x$ , $\operatorname{Arcsin}(\sin x) = x$ .

4. Pour tout $x \in [-1\,,1]$ , $\sin(\operatorname{Arcsin} x) = x$ .

5. Si $f$ est dérivable et strictement croissante sur un intervalle $I$ , alors $f' > 0$ sur $I$ .

6. Pour tout réel $x$ non nul, $\ln(x^{2}) = 2\ln|x|$ .

7. Pour tout $x > 0$ , $(x^{x})^{x} = x^{(x^{x})}$ .

8. Si $f$ est une fonction paire et dérivable sur $\mathbb{R}$ , alors sa dérivée $f'$ est impaire.

9. La fonction $\operatorname{th}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1\,,1[$ .

10. Pour tout réel $x$ non nul, $\operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan}\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ .

Corrigé

1. Vraie. Pour tout $x$ , $g(f(-x)) = g(-f(x)) = -g(f(x))$  ; c'est l'exercice 2.

2. Vraie. On écrit $f = p + i$ avec $p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ , paire, et $i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ , impaire ; c'est la décomposition vue en section 5.2 du cours.

3. Fausse. Pour $x = \pi$ , $\operatorname{Arcsin}(\sin\pi) = \operatorname{Arcsin} 0 = 0 \neq \pi$  ; l'égalité n'est vraie que sur $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ (exercice 36).

4. Vraie. C'est la définition de l'arc sinus, réciproque de la restriction du sinus.

5. Fausse. La fonction $x \mapsto x^{3}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , et sa dérivée s'annule en $0$  ; le théorème 1 ne donne qu'une condition suffisante.

6. Vraie. Pour $x \neq 0$ , $x^{2} = |x|^{2}$ avec $|x| > 0$ , et la proposition 6 donne $\ln(|x|^{2}) = 2\ln|x|$ (exercice 21).

7. Fausse. Pour $x = 3$ , $(3^{3})^{3} = 3^{9}$ alors que $3^{(3^{3})} = 3^{27}$ (exercice 30). L'égalité a pourtant lieu pour $x = 1$ et $x = 2$ , d'où le piège.

8. Vraie. En dérivant l'égalité $f(-x) = f(x)$ , on obtient $-f'(-x) = f'(x)$ .

9. Vraie. C'est l'exercice 43, question 3.

10. Fausse. Pour $x = -1$ , la somme vaut $-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$  ; d'après la proposition 9, la somme vaut $-\frac{\pi}{2}$ pour tout $x < 0$ .

À retenir : les quatre affirmations fausses viennent toutes de formules vraies sur un domaine plus petit que celui qu'on leur prête.

Énoncé PDF, p. 12 Corrigé PDF, p. 26 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Signe de la dérivée et monotonie Opérations sur les fonctions dérivables Dérivée d'une composée Théorème de la bijection Dérivée d'une fonction réciproque Le logarithme, aire sous l'hyperbole La fonction arc tangente et le nombre π

Thèmes

parité et périodicité, variations, dérivation, dérivée d'une composée, bijection réciproque, logarithme, fonctions circulaires réciproques

Notions

dérivable, logarithme, arc tangente, cosinus et sinus