Exercice 49

1. La fonction $g : t \mapsto f(t)\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ est dérivable d'après la proposition 11, et $$g'(t) = f'(t)\,\mathrm{e}^{-\lambda t} - \lambda f(t)\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = \big(f'(t) - \lambda f(t)\big)\mathrm{e}^{-\lambda t} = 0.$$ Sur l'intervalle $I$, $g$ est donc constante (proposition 11, (iii)), égale à $g(0) = 1$. Comme $\mathrm{e}^{\lambda t}\mathrm{e}^{-\lambda t} = \mathrm{e}^{0} = 1$, on en déduit $f(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}$. $$\boxed{f(t) = \mathrm{e}^{\lambda t} \ \text{ pour tout } t \in I}$$ 2. La fonction $\mathrm{e}^{\varphi}$ convient, puisque $(\mathrm{e}^{\varphi})' = \varphi'\mathrm{e}^{\varphi}$ et $\mathrm{e}^{\varphi(0)} = 1$. Si $f$ convient aussi, la fonction $f\,\mathrm{e}^{-\varphi}$ a pour dérivée $(f' - \varphi' f)\,\mathrm{e}^{-\varphi} = 0$ ; elle est donc constante, égale à $1$, et $f = \mathrm{e}^{\varphi}$. Avec $\varphi(t) = t + \mathrm{i} t^{2}$, on a bien $\varphi'(t) = 1 + 2\mathrm{i} t$ et $\varphi(0) = 0$. $$\boxed{f(t) = \mathrm{e}^{t + \mathrm{i} t^{2}} = \mathrm{e}^{t}\big(\cos(t^{2}) + \mathrm{i}\sin(t^{2})\big), \qquad |f(t)| = \mathrm{e}^{t}}$$ Le module ne dépend que de la partie réelle de $\varphi$, et l'argument que de sa partie imaginaire.

3. La formule $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$ concerne une puissance dont l'exposant est fixe et la base variable. Ici, c'est l'exposant qui varie : il faut dériver la composée $t \mapsto \exp(\mathrm{i} t)$, ce qui donne $\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big)' = \mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$. C'est la même confusion qu'entre $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto 2^{x}$, que le cours signale en section 5.5.