Exercice 48

1. Le module de $-1 + \mathrm{i}$ est $\sqrt{2}$, et $\frac{-1 + \mathrm{i}}{\sqrt{2}} = \cos\frac{3\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{4}$ ; de même, $|\sqrt{3} + \mathrm{i}| = 2$. $$\boxed{-1 + \mathrm{i} = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi/4} \qquad \sqrt{3} + \mathrm{i} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6}}$$ 2. Pour $\lambda \in \mathbb{C}$, la proposition 11 donne, par récurrence, $\big(\mathrm{e}^{\lambda x}\big)^{(n)} = \lambda^{n}\mathrm{e}^{\lambda x}$. Or $\mathrm{e}^{-x}\sin x = \operatorname{Im}\big(\mathrm{e}^{(-1+\mathrm{i})x}\big)$, et la dérivée $n$-ième de la partie imaginaire est la partie imaginaire de la dérivée $n$-ième, par définition de la dérivée d'une fonction complexe. Avec $(-1 + \mathrm{i})^{n} = 2^{n/2}\mathrm{e}^{3\mathrm{i} n\pi/4}$ : $$\big(\mathrm{e}^{-x}\sin x\big)^{(n)} = \operatorname{Im}\Big(2^{n/2}\,\mathrm{e}^{3\mathrm{i} n\pi/4}\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\Big), \qquad \boxed{\big(\mathrm{e}^{-x}\sin x\big)^{(n)} = 2^{n/2}\,\mathrm{e}^{-x}\sin\Big(x + \frac{3n\pi}{4}\Big)}.$$ De même, $\mathrm{e}^{\sqrt{3}x}\cos x = \operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{(\sqrt{3}+\mathrm{i})x}\big)$ et $(\sqrt{3} + \mathrm{i})^{n} = 2^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/6}$. $$\boxed{\big(\mathrm{e}^{\sqrt{3}\,x}\cos x\big)^{(n)} = 2^{n}\,\mathrm{e}^{\sqrt{3}\,x}\cos\Big(x + \frac{n\pi}{6}\Big)}$$ 3. Si $f^{(n)} = c_{n}f$, alors en $x = 0$, $2^{n/2}\sin\frac{3n\pi}{4} = 0$, donc $\frac{3n\pi}{4} \equiv 0\ [\pi]$, ce qui équivaut à $4 \mid 3n$, soit $4 \mid n$. Réciproquement, si $n = 4m$, alors $(-1 + \mathrm{i})^{4} = 4\,\mathrm{e}^{3\mathrm{i}\pi} = -4$, et $f^{(4m)} = (-4)^{m}f$. $$\boxed{f^{(n)} = c_{n}f \iff 4 \mid n, \quad \text{et alors } c_{4m} = (-4)^{m}}$$ 4. Pour $\varphi(x) = \mathrm{e}^{\lambda x}$ avec $\lambda = -1 + \mathrm{i}$, on a $\varphi'' + 2\varphi' + 2\varphi = (\lambda^{2} + 2\lambda + 2)\,\varphi$. Or $\lambda^{2} = -2\mathrm{i}$, donc $\lambda^{2} + 2\lambda + 2 = -2\mathrm{i} - 2 + 2\mathrm{i} + 2 = 0$. En prenant la partie imaginaire, $f'' + 2f' + 2f = 0$. $$\boxed{f'' + 2f' + 2f = 0, \ \text{ car } -1 + \mathrm{i} \text{ est racine de } r^{2} + 2r + 2}$$ Le chapitre 6 fera de cette observation la méthode de résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, et $r^{2} + 2r + 2 = 0$ y sera appelée l'équation caractéristique.