Exercice 47

1. Pour $x \neq 0$, $f(-x) = -x\operatorname{sh}\big(-\frac{1}{x}\big) = x\operatorname{sh}\frac{1}{x}$ : $\boxed{f \text{ est paire}}$, et l'on étudie $f$ sur $]0\,,+\infty[$.

2. Avec $u = \frac{1}{x}$, $f(x) = \frac{\operatorname{sh} u}{u}$. En $0^{+}$, $u \to +\infty$, et $\frac{\operatorname{sh} u}{u} = \frac{\mathrm{e}^{u}}{2u} - \frac{\mathrm{e}^{-u}}{2u} \to +\infty$ par croissances comparées. En $+\infty$, $u \to 0^{+}$, et $\frac{\operatorname{sh} u - \operatorname{sh} 0}{u}$ est le taux d'accroissement de $\operatorname{sh}$ en $0$, qui tend vers $\operatorname{sh}'(0) = \operatorname{ch} 0 = 1$. $$\boxed{\lim_{0^{+}} f = +\infty, \qquad \lim_{+\infty} f = 1}$$ 3. La fonction $u \mapsto u - \operatorname{th} u$ a pour dérivée $1 - (1 - \operatorname{th}^{2} u) = \operatorname{th}^{2} u > 0$ sur $]0\,,+\infty[$, et s'annule en $0$ : donc $\operatorname{th} u < u$ pour $u > 0$. Ensuite, avec $u = \frac{1}{x}$, $$f'(x) = \operatorname{sh}\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\operatorname{ch}\frac{1}{x} = \operatorname{ch} u\,(\operatorname{th} u - u) < 0.$$

$$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } ]0\,,+\infty[, \text{ de } +\infty \text{ à } 1}$$ 4. La courbe est symétrique par rapport à $(Oy)$, a pour asymptotes $x = 0$ et $y = 1$, et reste au-dessus de cette dernière ; quelques valeurs : $f(1) = \operatorname{sh} 1 \approx 1{,}18$, $f(\frac{1}{2}) \approx 1{,}81$, $f(\frac{1}{4}) \approx 6{,}82$.

La courbe descend de part et d'autre de l'axe des ordonnées vers son asymptote horizontale $y = 1$, sans jamais l'atteindre, ce qui traduit l'inégalité $\operatorname{sh} u > u$ pour $u > 0$.