Exercice 13

(a) La division euclidienne donne $\frac{2x^{2} - 3x + 1}{x + 2} = 2x - 7 + \frac{15}{x + 2}$. Le dernier terme tend vers $0$ en $\pm\infty$ et vers $\pm\infty$ en $-2$, et il est du signe de $x + 2$. $$\boxed{\text{asymptotes } y = 2x - 7 \text{ en } \pm\infty \text{ et } x = -2}$$ La courbe est au-dessus de l'asymptote oblique pour $x > -2$, au-dessous pour $x < -2$.

(b) La fonction est définie sur $\mathbb{R}$, puisque $x^{2} + x + 1 = \big(x + \frac{1}{2}\big)^{2} + \frac{3}{4} > 0$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{x^{2} + x + 1} - \Big(x + \frac{1}{2}\Big) = \frac{3/4}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x + \frac{1}{2}} \qquad \sqrt{x^{2} + x + 1} + \Big(x + \frac{1}{2}\Big) = \frac{3/4}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x - \frac{1}{2}}.$$ La première quantité tend vers $0$ en $+\infty$, la seconde en $-\infty$, et toutes deux sont positives là où on les utilise. $$\boxed{y = x + \frac{1}{2} \text{ en } +\infty, \qquad y = -x - \frac{1}{2} \text{ en } -\infty, \qquad \text{courbe au-dessus de chacune}}$$ L'erreur annoncée vient de ce que $\sqrt{x^{2}} = |x|$ et non $x$ : la courbe est symétrique par rapport à la droite $x = -\frac{1}{2}$, et ses deux asymptotes le sont aussi.

(c) On pose $h = \frac{1}{x}$, qui tend vers $0$ en $\pm\infty$. Alors $x\,\mathrm{e}^{1/x} - (x + 1) = \frac{\mathrm{e}^{h} - 1 - h}{h}$, et $\frac{\mathrm{e}^{h} - 1}{h}$ tend vers $\exp'(0) = 1$ : la différence tend vers $0$. L'inégalité $\mathrm{e}^{h} \geqslant 1 + h$ de la proposition 5 donne son signe, celui de $h$. $$\boxed{\text{asymptote } y = x + 1 \text{ en } \pm\infty ; \ \text{courbe au-dessus en } +\infty, \text{ au-dessous en } -\infty}$$ (d) On a $\frac{f(x)}{x} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \to 1$, mais $f(x) - x = \sqrt{x} \to +\infty$. $$\boxed{\text{branche parabolique de direction } y = x, \ \text{pas d'asymptote}}$$