Exercice 12

1. La tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $a > 0$ a pour équation $y = \ln a + \frac{1}{a}(x - a)$. Elle passe par l'origine si et seulement si $\ln a - 1 = 0$. $$\boxed{a = \mathrm{e}, \ \text{ tangente } y = \frac{x}{\mathrm{e}}}$$ 2. La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $g'(x) = 1 + 2\mathrm{e}^{2x} > 0$ : elle est strictement croissante. Comme $g(-1) = -1 + \mathrm{e}^{-2} < 0$ et $g(0) = 1 > 0$, et que $g([-1\,,0])$ est un intervalle d'après le théorème 2, la valeur $0$ est atteinte en un point $x_{0}$ de $]-1\,,0[$, et en un seul par stricte monotonie.

Le carré de la distance de $O$ au point $(x, \mathrm{e}^{x})$ est $d(x) = x^{2} + \mathrm{e}^{2x}$, et $d'(x) = 2x + 2\mathrm{e}^{2x} = 2g(x)$. Ainsi $d$ décroît sur $]-\infty\,,x_{0}]$ et croît sur $[x_{0}\,,+\infty[$ : elle atteint son minimum en $x_{0}$. $$\boxed{M_{0}(x_{0}, \mathrm{e}^{x_{0}}) \text{ avec } x_{0} + \mathrm{e}^{2x_{0}} = 0, \quad x_{0} \approx -0{,}426}$$ 3. Un vecteur directeur de la tangente en $M_{0}$ est $\vec{u}(1, \mathrm{e}^{x_{0}})$, et $\overrightarrow{OM_{0}}$ a pour coordonnées $(x_{0}, \mathrm{e}^{x_{0}})$. Leur produit scalaire vaut $x_{0} + \mathrm{e}^{2x_{0}} = g(x_{0}) = 0$. $$\boxed{\text{la tangente en } M_{0} \text{ est perpendiculaire à } (OM_{0})}$$ Le cercle de centre $O$ passant par $M_{0}$ est donc tangent à la courbe en $M_{0}$ : la courbe reste à l'extérieur de ce cercle, ce qui est une autre façon de dire que $M_{0}$ est le point le plus proche.