Exercice 11

La formule du quotient donne, pour tout réel $x$, $$f_{m}'(x) = \frac{(x^{2} + 1) - 2x(x + m)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{1 - 2mx - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}.$$ 1. On a $f_{m}'(0) = 1$ pour tout $m$ : toutes les tangentes en $0$ ont la même pente. $$\boxed{T_{0} : y = x + m, \ \text{ de pente } 1 \text{ pour tout } m}$$ 2. On a $f_{m}(1) = \frac{1 + m}{2}$ et $f_{m}'(1) = -\frac{m}{2}$, d'où la tangente $$y = \frac{1 + m}{2} - \frac{m}{2}(x - 1) = \frac{1}{2} + \frac{m}{2}(2 - x).$$ En $x = 2$, on obtient $y = \frac{1}{2}$ quel que soit $m$. $$\boxed{\text{toutes les tangentes en } 1 \text{ passent par le point } \Big(2, \frac{1}{2}\Big)}$$ La méthode consiste à écrire l'équation de la tangente comme une expression affine en $m$, puis à annuler le coefficient de $m$.