Exercice 10

On applique chaque fois les règles de la proposition 3, en particulier la dérivation d'une composée. Une racine carrée n'est dérivable, d'après le cours, que là où son argument est strictement positif.

(a) Il faut $1 + 2\cos x > 0$, soit $\cos x > -\frac{1}{2}$. La fonction est dérivable sur son ensemble de définition, et $$\boxed{D = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\,\Big]-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\,,\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\Big[ \qquad f'(x) = \frac{-2\sin x}{1 + 2\cos x}}$$ (b) Il faut $x \geqslant 2$ et $\sqrt{x - 2} \geqslant 1$, soit $x \geqslant 3$ ; les deux racines ont un argument strictement positif pour $x > 3$. $$\boxed{D = [3\,,+\infty[ \qquad f'(x) = \frac{1}{4\sqrt{x - 2}\,\sqrt{\sqrt{x - 2} - 1}} \ \text{ sur } ]3\,,+\infty[}$$ (c) La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$, et la dérivée de $-\frac{1}{x^{2}}$ est $\frac{2}{x^{3}}$. $$\boxed{D = \mathbb{R}^{*} \qquad f'(x) = \frac{2}{x^{3}}\,\exp\Big(-\frac{1}{x^{2}}\Big)}$$ (d) Il faut $x \geqslant 0$, et alors $x + \sqrt{x} \geqslant 0$ ; pour $x > 0$, les deux arguments sont strictement positifs. $$\boxed{D = [0\,,+\infty[ \qquad f'(x) = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x + \sqrt{x}}} \ \text{ sur } ]0\,,+\infty[}$$ (e) Il faut $x^{2} \neq 2$, et la formule du quotient donne $$\boxed{D = \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \qquad f'(x) = \frac{-2(x^{2} - 2)\sin(2x) - 2x\cos(2x)}{(x^{2} - 2)^{2}}}$$ (f) La fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$, et la dérivée de $\sin\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}$. $$\boxed{D = \mathbb{R}^{*} \qquad f'(x) = \cos x\,\sin\frac{1}{x} - \frac{\sin x}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}}$$

Attention : en (b) et en (d), le cours ne permet pas de conclure à la dérivabilité aux points $3$ et $0$ ; on verra au chapitre 9 que ces fonctions n'y sont effectivement pas dérivables, leur courbe ayant une tangente verticale.