Exercice 9

1. Si $a_{1} = a_{2} = a$, alors $f(2a - x) = 2b_{1} - f(x) = 2b_{2} - f(x)$, donc $b_{1} = b_{2}$, et les deux centres seraient confondus. $$\boxed{a_{1} \neq a_{2}}$$ 2. On applique la relation du second centre au réel $2a_{1} - x$, puis celle du premier centre : $$f\big(2a_{2} - (2a_{1} - x)\big) = 2b_{2} - f(2a_{1} - x) = 2b_{2} - \big(2b_{1} - f(x)\big).$$

$$\boxed{f\big(x + 2(a_{2} - a_{1})\big) = f(x) + 2(b_{2} - b_{1})}$$ 3. Posons $T = 2(a_{2} - a_{1}) \neq 0$, $\lambda = \frac{b_{2} - b_{1}}{a_{2} - a_{1}}$ et $g(x) = f(x) - \lambda x$. Alors $$g(x + T) = f(x) + 2(b_{2} - b_{1}) - \lambda x - 2\lambda(a_{2} - a_{1}) = g(x).$$

$$\boxed{f = g + (x \mapsto \lambda x), \ \text{ avec } g \text{ périodique de période } |T|}$$ 4. La fonction $x \mapsto x + \sin x$ convient : pour tout $k \in \mathbb{Z}$, puisque $\sin(2k\pi - x) = -\sin x$, on a $f(2k\pi - x) = 2k\pi - x - \sin x = 2k\pi - f(x)$, donc chaque point $(k\pi, k\pi)$ est centre de symétrie. $$\boxed{f(x) = x + \sin x, \ \text{ centres } (k\pi, k\pi), \ k \in \mathbb{Z}}$$ Géométriquement, composer deux symétries centrales donne une translation : c'est la clef de la question 2, et la raison pour laquelle deux centres en engendrent une infinité.