Exercice 8

1. Posons $x = a + h$, de sorte que $2a - x = a - h$. La condition $f(2a - x) = 2b - f(x)$ s'écrit $f(a - h) - b = -\big(f(a + h) - b\big)$, et la condition sur l'ensemble de définition dit que $h \mapsto f(a + h) - b$ est définie sur un ensemble symétrique. $$\boxed{\Omega(a, b) \text{ centre de symétrie} \iff h \mapsto f(a + h) - b \text{ impaire}}$$ D'après la proposition 1, la courbe de $h \mapsto f(a + h) - b$ est l'image de celle de $f$ par la translation de vecteur $-a\vec{\imath} - b\vec{\jmath}$, qui envoie $\Omega$ sur $O$ : on ramène le centre à l'origine.

2. On écrit $\frac{x + 3}{x + 5} = 1 - \frac{2}{x + 5}$. Avec $a = -5$ et $b = 1$, la fonction $h \mapsto -\frac{2}{h}$ est impaire. $$\boxed{\Omega(-5, 1)}$$ 3. Soit $a = -\frac{q}{3p}$, de sorte que $3pa + q = 0$. Le développement de $f(a + h)$ donne $$f(a + h) - f(a) = p h^{3} + (3pa + q)h^{2} + (3pa^{2} + 2qa + r)h = p h^{3} + \Big(r - \frac{q^{2}}{3p}\Big)h,$$ qui est une fonction impaire de $h$. $$\boxed{\text{centre de symétrie } \Big(-\frac{q}{3p}, f\Big(-\frac{q}{3p}\Big)\Big)}$$ 4. Avec $a = -\frac{q}{2p}$, on obtient de même $f(a + h) - f(a) = p h^{2}$, fonction paire de $h$ : $f(a - h) = f(a + h)$. $$\boxed{\text{axe de symétrie } x = -\frac{q}{2p}}$$