Exercice 7

La fonction $f \circ f \circ f$, strictement monotone, est injective (proposition 2 du cours) ; il en est donc de même de $f$, car $f(x) = f(y)$ entraînerait $f(f(f(x))) = f(f(f(y)))$.

Soit $x < y$. Supposons par l'absurde $f(x) \leqslant f(y)$ ; par injectivité, $f(x) < f(y)$. La croissance de $f \circ f$, appliquée aux réels $f(x) < f(y)$, donne l'inégalité $(f \circ f)\big(f(x)\big) \leqslant (f \circ f)\big(f(y)\big)$, autrement dit $(f \circ f \circ f)(x) \leqslant (f \circ f \circ f)(y)$, ce qui contredit la décroissance stricte de $f \circ f \circ f$. $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante}}$$ L'astuce est d'appliquer l'hypothèse sur $f \circ f$ non pas à $x$ et $y$, mais à leurs images par $f$.