Exercice 6

Supposons $f$ périodique, de période $T > 0$. Alors $f(T) = f(0) = 2$. Comme un cosinus vaut au plus $1$, cela impose $\cos T = 1$ et $\cos(\alpha T) = 1$, donc il existe des entiers $k$ et $m$ tels que $T = 2k\pi$ et $\alpha T = 2m\pi$, avec $k \neq 0$ puisque $T > 0$. On en déduit $\alpha = \frac{m}{k}$.

Réciproquement, si $\alpha = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}^{*}$ et $q \in \mathbb{N}^{*}$, posons $T = 2\pi q$. Alors $\cos(x + T) = \cos x$ et $\cos\big(\alpha x + \alpha T\big) = \cos(\alpha x + 2\pi p) = \cos(\alpha x)$. $$\boxed{f \text{ est périodique} \iff \alpha \in \mathbb{Q}}$$ Par exemple, $x \mapsto \cos x + \cos(\sqrt{2}\,x)$ n'est pas périodique, bien que ce soit la somme de deux fonctions périodiques.

À retenir : l'argument décisif est que la valeur maximale $2$ n'est atteinte que si les deux cosinus valent $1$ simultanément ; une fonction périodique reprend nécessairement sa valeur en $0$.