Exercice 5

1. Supposons $D$ $T$-périodique, et soit $x \in \mathbb{R}$. Si $x \in D$, alors $x + T \in D$. Si $x \notin D$, alors $x + T \notin D$, sinon $x = (x + T) - T$ serait dans $D$. Dans les deux cas $\mathbb{1}_{D}(x + T) = \mathbb{1}_{D}(x)$. Réciproquement, si $\mathbb{1}_{D}$ est $T$-périodique et $x \in D$, alors $\mathbb{1}_{D}(x \pm T) = \mathbb{1}_{D}(x) = 1$, donc $x \pm T \in D$. $$\boxed{D \text{ est } T\text{-périodique} \iff \mathbb{1}_{D} \text{ est } T\text{-périodique}}$$ La partie $\mathbb{Z}$ est $1$-périodique ; pour $T \in \,]0\,,1[$, on a $0 \in \mathbb{Z}$ mais $T \notin \mathbb{Z}$, donc $\mathbb{Z}$ n'est pas $T$-périodique.

2. La fonction $\mathbb{1}_{D}$ est paire si et seulement si, pour tout $x$, $x \in D \iff -x \in D$. Elle est impaire si et seulement si $\mathbb{1}_{D}(-x) = -\mathbb{1}_{D}(x)$ pour tout $x$ ; les deux membres étant l'un positif, l'autre négatif, ils sont nuls, ce qui impose $D = \varnothing$. $$\boxed{\mathbb{1}_{D} \text{ paire} \iff D \text{ symétrique par rapport à } 0 \qquad \mathbb{1}_{D} \text{ impaire} \iff D = \varnothing}$$

3. Si $\mathbb{1}_{D}$ est croissante, $x \in D$ et $y \geqslant x$, alors $\mathbb{1}_{D}(y) \geqslant 1$, donc $y \in D$ : avec chaque point, $D$ contient toute la demi-droite à sa droite. Une telle partie, si elle n'est pas vide, est un intervalle, puisque tout réel compris entre deux de ses points est supérieur au premier, et cet intervalle n'est pas majoré. La réciproque est immédiate. $$\boxed{\mathbb{1}_{D} \text{ croissante} \iff D = \varnothing \text{ ou } D \text{ est un intervalle non majoré}}$$ Ce sont $\varnothing$, $\mathbb{R}$, et les intervalles $[a\,,+\infty[$ et $]a\,,+\infty[$.