Exercice 43

1. On développe le second membre : $$\operatorname{ch} x\operatorname{ch} y + \operatorname{sh} x\operatorname{sh} y = \frac{(\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x})(\mathrm{e}^{y} + \mathrm{e}^{-y}) + (\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x})(\mathrm{e}^{y} - \mathrm{e}^{-y})}{4} = \frac{2\mathrm{e}^{x+y} + 2\mathrm{e}^{-x-y}}{4} = \boxed{\operatorname{ch}(x + y)},$$ et le calcul est le même pour $\operatorname{sh}(x + y)$, les termes croisés se compensant.

2. On divise numérateur et dénominateur de $\frac{\operatorname{sh}(x + y)}{\operatorname{ch}(x + y)}$ par $\operatorname{ch} x\operatorname{ch} y > 0$. $$\boxed{\operatorname{th}(x + y) = \frac{\operatorname{th} x + \operatorname{th} y}{1 + \operatorname{th} x\operatorname{th} y}}$$ 3. La fonction $\operatorname{th}$ est dérivable et strictement croissante (proposition 10), donc $\operatorname{th}(\mathbb{R})$ est un intervalle d'après le théorème 2 ; il est contenu dans $]-1\,,1[$, puisque $|\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch} x$, et contient des réels aussi proches qu'on veut de $1$ et de $-1$, d'après les limites. Donc $\operatorname{th}(\mathbb{R}) = \,]-1\,,1[$. Si $a$, $b \in \,]-1\,,1[$, on écrit $a = \operatorname{th}\alpha$ et $b = \operatorname{th}\beta$, et la question 2 donne $\frac{a + b}{1 + ab} = \operatorname{th}(\alpha + \beta)$. $$\boxed{\frac{a + b}{1 + ab} \in \,]-1\,,1[}$$ En physique, c'est la loi de composition des vitesses en relativité restreinte, avec des vitesses mesurées en fractions de la vitesse de la lumière : la composée de deux vitesses inférieures à celle de la lumière lui reste inférieure.

4. Les formules sont celles de la trigonométrie circulaire, à un signe près devant chaque produit de deux sinus : $\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y$, alors que $\operatorname{ch}(x + y)$ fait apparaître $+\operatorname{sh} x\operatorname{sh} y$. De même, $\tan(x + y)$ a $1 - \tan x\tan y$ au dénominateur, et $\operatorname{th}(x + y)$ a $1 + \operatorname{th} x\operatorname{th} y$. Ce parallèle n'est pas un hasard : si l'on remplace formellement $x$ par $\mathrm{i} x$ dans les formules d'Euler du chapitre 4, on obtient $\frac{\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{x}}{2} = \operatorname{ch} x$ pour « $\cos(\mathrm{i} x)$ », ce que la seconde année justifiera en prolongeant le cosinus à $\mathbb{C}$.