Exercice 42

On revient chaque fois à $t = \mathrm{e}^{x} > 0$, ce qui donne une équation du second degré.

(a) $\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x} = 4$ donne $t^{2} - 4t + 1 = 0$, de racines $2 \pm \sqrt{3}$, toutes deux positives ; comme $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$, on obtient deux solutions opposées, ce qu'imposait la parité de $\operatorname{ch}$. $$\boxed{x = \pm\ln(2 + \sqrt{3})}$$ (b) $5\operatorname{ch} x - 3\operatorname{sh} x = \mathrm{e}^{x} + 4\mathrm{e}^{-x}$, et l'équation devient $t^{2} - 4t + 4 = (t - 2)^{2} = 0$. $\boxed{x = \ln 2}$

(c) $3\operatorname{sh} x - \operatorname{ch} x = \mathrm{e}^{x} - 2\mathrm{e}^{-x}$, et l'équation devient $t^{2} - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0$. $\boxed{x = \ln 2}$

Pour l'équation générale, on écrit $a\operatorname{ch} x + b\operatorname{sh} x = \frac{1}{2}\big((a + b)\mathrm{e}^{x} + (a - b)\mathrm{e}^{-x}\big)$ ; l'équation équivaut donc à $(a + b)\mathrm{e}^{2x} = b - a$.

• Si $a = b = 0$, tout réel est solution.

• Si $a + b = 0$ et $a \neq 0$, alors $b - a = -2a \neq 0$ : aucune solution.

• Si $a + b \neq 0$, il faut $\frac{b - a}{a + b} > 0$, c'est-à-dire $(b - a)(b + a) > 0$, soit $|b| > |a|$.

$$\boxed{\text{si } |b| > |a| : \text{ unique solution } x = \frac{1}{2}\ln\frac{b - a}{b + a} \ ; \ \text{ si } |b| \leqslant |a| \text{ et } (a, b) \neq (0, 0) : \text{ aucune}}$$ Ce résultat se lit sur le cours : l'équation s'écrit $\operatorname{th} x = -\frac{a}{b}$, qui a une solution si et seulement si $-\frac{a}{b} \in \,]-1\,,1[$.