Exercice 41

1. On applique l'exercice 38 avec $a = x + 1$ et $b = -x$ : $1 - ab = 1 + x + x^{2} > 0$, donc $ab < 1$ et $k = 0$. $$\operatorname{Arctan}(x + 1) + \operatorname{Arctan}(-x) = \operatorname{Arctan}\frac{(x + 1) - x}{1 + x(x + 1)},$$

$$\boxed{\operatorname{Arctan}(x + 1) - \operatorname{Arctan} x = \operatorname{Arctan}\frac{1}{x^{2} + x + 1}}$$ 2. La somme est télescopique, comme au chapitre 3 : $$S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\big(\operatorname{Arctan}(k + 1) - \operatorname{Arctan} k\big) = \operatorname{Arctan}(n + 1) - \operatorname{Arctan} 0, \qquad \boxed{S_{n} = \operatorname{Arctan}(n + 1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\pi}{2}}$$