Exercice 40

1. Pour $x \in [-1\,,1]$, on verra en question 3 que $4x^{3} - 3x = \cos(3\operatorname{Arccos} x) \in [-1\,,1]$. Pour $x > 1$, $4x^{3} - 3x - 1 = (x - 1)(2x + 1)^{2} > 0$, et le cas $x < -1$ s'en déduit par imparité. $$\boxed{D = [-1\,,1]}$$ 2. C'est la formule obtenue au chapitre 4 par la formule de Moivre : $\boxed{\cos(3\theta) = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta}$

3. Soit $\theta = \operatorname{Arccos} x \in [0\,,\pi]$ ; alors $f(x) = \operatorname{Arccos}(\cos 3\theta)$, avec $3\theta \in [0\,,3\pi]$. Il faut ramener $3\theta$ dans $[0\,,\pi]$ par un angle de même cosinus.

• Si $\theta \in [0\,,\frac{\pi}{3}]$, c'est-à-dire $x \in [\frac{1}{2}\,,1]$, alors $3\theta \in [0\,,\pi]$ et $f(x) = 3\theta$.

• Si $\theta \in [\frac{\pi}{3}\,,\frac{2\pi}{3}]$, c'est-à-dire $x \in [-\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}]$, alors $2\pi - 3\theta \in [0\,,\pi]$ a le même cosinus, et $f(x) = 2\pi - 3\theta$.

• Si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}\,,\pi]$, c'est-à-dire $x \in [-1\,,-\frac{1}{2}]$, alors $3\theta - 2\pi \in [0\,,\pi]$, et $f(x) = 3\theta - 2\pi$.

$$\boxed{f(x) = \begin{cases} 3\operatorname{Arccos} x - 2\pi & \text{si } -1 \leqslant x \leqslant -\frac{1}{2} \\ 2\pi - 3\operatorname{Arccos} x & \text{si } -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 3\operatorname{Arccos} x & \text{si } \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}}$$ Les expressions coïncident aux points de raccord : $f(-\frac{1}{2}) = 0$ et $f(\frac{1}{2}) = \pi$.

4. On trace les trois arcs obtenus à la question 3, chacun étant l'image d'un morceau de la courbe de l'arc cosinus par une affinité et une translation.

La courbe présente des points anguleux en $\pm\frac{1}{2}$, où les pentes à gauche et à droite valent $\pm 2\sqrt{3}$ ; aux bords $\pm 1$, la tangente est verticale, comme pour l'arc cosinus. Ce sont les points où $f$ n'est pas dérivable, ce que le chapitre 9 confirmera.