Exercice 39

(a) L'équation a un sens pour $|x| \leqslant \frac{1}{2}$. Une solution est une valeur commune à $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ et $[0\,,\pi]$, donc dans $[0\,,\frac{\pi}{2}]$, ce qui impose $x \geqslant 0$. Sur cet intervalle, le sinus est injectif, et l'équation équivaut à $2x = \sin(\operatorname{Arccos} x) = \sqrt{1 - x^{2}}$, soit $5x^{2} = 1$ avec $x \geqslant 0$. $$\boxed{x = \frac{1}{\sqrt{5}}}$$ (b) Le membre de gauche est strictement croissant et nul en $0$ : une solution est strictement positive. Pour $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$, l'exercice 38 donne $\operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan}(2x) = \operatorname{Arctan}\frac{3x}{1 - 2x^{2}}$, et l'équation équivaut à $3x = 1 - 2x^{2}$. La racine positive, $\frac{\sqrt{17} - 3}{4} \approx 0{,}28$, convient ; elle est unique par stricte croissance. $$\boxed{x = \frac{\sqrt{17} - 3}{4}}$$ (c) Pour tout réel $x$, $\frac{2x}{1 + x^{2}} \in [-1\,,1]$, car $1 + x^{2} - 2|x| = (1 - |x|)^{2} \geqslant 0$. Comme $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$, l'équation équivaut à $\frac{2x}{1 + x^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, soit $\sqrt{3}\,x^{2} - 4x + \sqrt{3} = 0$, de discriminant $4$. $$\boxed{x \in \Big\{\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\Big\}}$$ (d) D'après l'exercice 38, $\operatorname{Arctan} 2 + \operatorname{Arctan} 3 = \pi + \operatorname{Arctan}\frac{5}{-5} = \frac{3\pi}{4}$, qui n'appartient pas à $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$. $$\boxed{\text{aucune solution}}$$ Prendre le sinus des deux membres aurait conduit à $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, qui n'est pas solution : c'est le piège que signale l'énoncé.