Exercice 38

1. Posons $\alpha = \operatorname{Arctan} a$, $\beta = \operatorname{Arctan} b$, et $s = \alpha + \beta \in \,]-\pi\,,\pi[$. Alors $$\cos s = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta\,(1 - ab),$$ qui est non nul, du signe de $1 - ab$, puisque $\cos\alpha$ et $\cos\beta$ sont strictement positifs. On peut donc calculer $\tan s = \frac{a + b}{1 - ab}$, et $s$ diffère de $\operatorname{Arctan}\frac{a + b}{1 - ab}$ d'un multiple de $\pi$. Cette différence est dans $]-\frac{3\pi}{2}\,,\frac{3\pi}{2}[$, donc vaut $k\pi$ avec $k \in \{-1, 0, 1\}$. Si $ab < 1$, $\cos s > 0$, donc $s \in \,]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$, et $k = 0$. $$\boxed{\operatorname{Arctan} a + \operatorname{Arctan} b = \operatorname{Arctan}\frac{a + b}{1 - ab} + k\pi, \quad k = 0 \text{ si } ab < 1}$$ On montre de même que $k = 1$ si $ab > 1$ et $a > 0$, et $k = -1$ si $ab > 1$ et $a < 0$.

2. Avec $a = b = \frac{1}{3}$, $ab < 1$ : $2\operatorname{Arctan}\frac{1}{3} = \operatorname{Arctan}\frac{2/3}{8/9} = \operatorname{Arctan}\frac{3}{4}$. Puis, avec $\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{7} < 1$ : $$\operatorname{Arctan}\frac{3}{4} + \operatorname{Arctan}\frac{1}{7} = \operatorname{Arctan}\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{3}{28}} = \operatorname{Arctan}\frac{25/28}{25/28} = \operatorname{Arctan} 1.$$

$$\boxed{2\operatorname{Arctan}\frac{1}{3} + \operatorname{Arctan}\frac{1}{7} = \frac{\pi}{4}}$$ 3. Pour $a = 2$, $b = 5$, on a $ab > 1$ et $a > 0$, donc $\operatorname{Arctan} 2 + \operatorname{Arctan} 5 = \pi + \operatorname{Arctan}\frac{7}{-9} = \pi - \operatorname{Arctan}\frac{7}{9}$. Ensuite, $\operatorname{Arctan} 8 - \operatorname{Arctan}\frac{7}{9}$ relève du cas $ab = -\frac{56}{9} < 1$ : $$\operatorname{Arctan} 8 + \operatorname{Arctan}\Big(-\frac{7}{9}\Big) = \operatorname{Arctan}\frac{8 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{56}{9}} = \operatorname{Arctan}\frac{65/9}{65/9} = \frac{\pi}{4}.$$

$$\boxed{\operatorname{Arctan} 2 + \operatorname{Arctan} 5 + \operatorname{Arctan} 8 = \frac{5\pi}{4}}$$ 4. La question 3 montre que $x = 5$ est solution. Le membre de gauche est une somme de trois fonctions strictement croissantes, donc il est strictement croissant, et injectif. $$\boxed{x = 5}$$ Attention : l'oubli du terme $k\pi$ est l'erreur la plus répandue ; en question 3, il aurait donné $\frac{\pi}{4}$ au lieu de $\frac{5\pi}{4}$, résultat absurde puisque chacun des trois arcs dépasse $\frac{\pi}{4}$.