Exercice 37

Première méthode. Posons $\delta(x) = \operatorname{Arccos}\frac{1 - x}{1 + x} - 2\operatorname{Arctan}\sqrt{x}$. Pour $x > 0$, $u(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ appartient à $]-1\,,1[$, et $u'(x) = -\frac{2}{(1 + x)^{2}}$ ; comme $1 - u(x)^{2} = \frac{4x}{(1 + x)^{2}}$, $$\Big(\operatorname{Arccos} u\Big)'(x) = \frac{-u'(x)}{\sqrt{1 - u(x)^{2}}} = \frac{2}{(1 + x)^{2}}\cdot\frac{1 + x}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}} = \big(2\operatorname{Arctan}\sqrt{x}\big)'.$$ Ainsi $\delta' = 0$ sur l'intervalle $]0\,,+\infty[$ : $\delta$ y est constante, égale à $\delta(1) = \operatorname{Arccos} 0 - 2\operatorname{Arctan} 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Le point $0$, où les fonctions ne sont pas dérivables, se traite à part : $\delta(0) = \operatorname{Arccos} 1 - 0 = 0$.

Seconde méthode. Soit $\theta = \operatorname{Arctan}\sqrt{x} \in [0\,,\frac{\pi}{2}[$, de sorte que $\tan^{2}\theta = x$. La formule de l'exercice 35 (f) donne $\cos(2\theta) = \frac{1 - x}{1 + x}$, et $2\theta \in [0\,,\pi[$ ; donc $2\theta$ est l'arc cosinus de $\frac{1 - x}{1 + x}$. $$\boxed{\operatorname{Arccos}\frac{1 - x}{1 + x} = 2\operatorname{Arctan}\sqrt{x} \ \text{ pour tout } x \geqslant 0}$$ La seconde méthode est préférable : elle est plus courte, traite $x = 0$ sans cas particulier, et ne demande que de vérifier que l'angle est dans $[0\,,\pi]$. La première reste la méthode de secours quand on ne devine pas l'identité trigonométrique.