Exercice 36

1. La fonction $u : x \mapsto \operatorname{Arcsin}(\sin x)$ est définie sur $\mathbb{R}$, impaire et $2\pi$-périodique, comme le sinus. Sur $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$, $u(x) = x$. Sur $[\frac{\pi}{2}\,,\frac{3\pi}{2}]$, le réel $\pi - x$ est dans $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$, donc $u(x) = \pi - x$. $$\boxed{u(x) = x \text{ sur } \Big[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\Big], \qquad u(x) = \pi - x \text{ sur } \Big[\frac{\pi}{2}\,,\frac{3\pi}{2}\Big]}$$ 2. De même, $v : x \mapsto \operatorname{Arccos}(\cos x)$ est paire et $2\pi$-périodique, avec $v(x) = |x|$ sur $[-\pi\,,\pi]$. La fonction $w : x \mapsto \operatorname{Arctan}(\tan x)$ est définie hors des points $\frac{\pi}{2} + k\pi$, $\pi$-périodique, et $w(x) = x - k\pi$ sur $]-\frac{\pi}{2} + k\pi\,,\frac{\pi}{2} + k\pi[$.

Les deux premières courbes sont des lignes brisées en dents de scie triangulaires, qui ne coïncident avec la droite $y = x$ que sur l'intervalle où l'arc inverse vraiment la fonction ; la troisième est une suite de segments de pente $1$, interrompus aux points où la tangente n'est pas définie (cercles vides).

3. D'après la proposition 8, $\operatorname{Arccos}(-x) = \pi - \operatorname{Arccos} x$, soit $\operatorname{Arccos}(-x) - \frac{\pi}{2} = -\big(\operatorname{Arccos} x - \frac{\pi}{2}\big)$ : la fonction $h \mapsto \operatorname{Arccos}(h) - \frac{\pi}{2}$ est impaire, et l'exercice 8 conclut. $$\boxed{\text{centre de symétrie } \Big(0, \frac{\pi}{2}\Big)}$$