Exercice 35

On pose chaque fois $\theta$ égal à l'arc, et l'on exprime la ligne trigonométrique cherchée à l'aide de celle que l'on connaît, en contrôlant le signe grâce à l'intervalle où se trouve $\theta$.

• (a) Sur $\mathbb{R}$, avec $\theta = \operatorname{Arctan} x$, on a $\cos\theta > 0$ et $\frac{1}{\cos^{2}\theta} = 1 + \tan^{2}\theta$ : $\boxed{\cos(\operatorname{Arctan} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

• (b) Sur $\mathbb{R}$, $\sin\theta = \tan\theta\cos\theta$ : $\boxed{\sin(\operatorname{Arctan} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}$

• (c) Sur $]-1\,,1[$, puisque $\cos(\operatorname{Arcsin} x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ne s'annule pas : $\boxed{\tan(\operatorname{Arcsin} x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}}$

• (d) Sur $[-1\,,1]$, avec $\cos(2\theta) = 2\cos^{2}\theta - 1$ : $\boxed{\cos(2\operatorname{Arccos} x) = 2x^{2} - 1}$

• (e) Sur $[-1\,,1]$, avec $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ : $\boxed{\sin(2\operatorname{Arccos} x) = 2x\sqrt{1 - x^{2}}}$

• (f) Sur $\mathbb{R}$, avec $\cos(2\theta) = \frac{1 - \tan^{2}\theta}{1 + \tan^{2}\theta}$ : $\boxed{\cos(2\operatorname{Arctan} x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$