Exercice 34

Pour calculer $\operatorname{Arcsin} y$, on cherche l'unique angle de $[-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ dont le sinus vaut $y$ ; de même avec $[0\,,\pi]$ pour l'arc cosinus et $]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$ pour l'arc tangente. Lorsque l'argument est déjà un cosinus ou un sinus, on ramène l'angle dans le bon intervalle.

• (a), (b), (c) $\boxed{\operatorname{Arcsin}\Big(-\frac{1}{2}\Big) = -\frac{\pi}{6} \qquad \operatorname{Arccos}\Big(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Big) = \frac{3\pi}{4} \qquad \operatorname{Arctan}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}}$

• (d) $\cos\frac{4\pi}{3} = \cos\big(2\pi - \frac{4\pi}{3}\big) = \cos\frac{2\pi}{3}$, et $\frac{2\pi}{3} \in [0\,,\pi]$ : $\boxed{\frac{2\pi}{3}}$

• (e) $\sin 3 = \sin(\pi - 3)$, et $\pi - 3 \approx 0{,}14 \in [-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ : $\boxed{\pi - 3}$

• (f) La tangente est $\pi$-périodique, et $\frac{87\pi}{5} - 17\pi = \frac{2\pi}{5} \in \,]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$ : $\boxed{\frac{2\pi}{5}}$

• (g) $\sin\frac{7\pi}{15} = \cos\big(\frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{15}\big) = \cos\frac{\pi}{30}$ : $\boxed{\frac{\pi}{30}}$

• (h) $\sin\frac{17\pi}{5} = \sin\big(-\frac{3\pi}{5}\big) = -\cos\frac{\pi}{10} = \cos\frac{9\pi}{10}$ : $\boxed{\frac{9\pi}{10}}$

• (i) $\cos\big(-\frac{2\pi}{3}\big) = \cos\frac{2\pi}{3}$ : $\boxed{\frac{2\pi}{3}}$

Piège : on n'a pas $\operatorname{Arccos}(\cos x) = x$ en général ; c'est vrai seulement pour $x \in [0\,,\pi]$, et (d), (i) en donnent deux contre-exemples. L'exercice 36 étudie ces fonctions en détail.