Exercice 33

1. La fonction $g$ est dérivable, et $g'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ : $g$ croît sur $]0\,,\mathrm{e}]$ et décroît sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$. En $0^{+}$, $\ln x \to -\infty$ et $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $g \to -\infty$ ; en $+\infty$, $g \to 0$ par croissances comparées. Enfin $g(4) = \frac{2\ln 2}{4} = g(2)$. $$\boxed{\max g = g(\mathrm{e}) = \frac{1}{\mathrm{e}}, \qquad \lim_{0^{+}} g = -\infty, \qquad \lim_{+\infty} g = 0, \qquad g(2) = g(4) = \frac{\ln 2}{2}}$$ 2. Pour $n \geqslant 1$, $2^{n} \geqslant n^{2}$ équivaut à $n\ln 2 \geqslant 2\ln n$, soit $g(n) \leqslant g(2)$. Pour $n \geqslant 4$, la décroissance de $g$ sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$ donne $g(n) \leqslant g(4) = g(2)$. Pour $n = 3$, $g(3) > g(4)$, et en effet $8 < 9$. Les cas $n = 0$, $1$, $2$ se vérifient directement : $1 \geqslant 0$, $2 \geqslant 1$, $4 \geqslant 4$. $$\boxed{2^{n} \geqslant n^{2} \iff n \neq 3}$$ 3. Comme $\mathrm{e} < \pi$ et que $g$ décroît sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$, $g(\pi) < g(\mathrm{e})$, soit $\frac{\ln \pi}{\pi} < \frac{1}{\mathrm{e}}$, c'est-à-dire $\mathrm{e}\ln\pi < \pi = \pi\ln\mathrm{e}$. $$\boxed{\pi^{\mathrm{e}} < \mathrm{e}^{\pi}}$$ Numériquement, $\pi^{\mathrm{e}} \approx 22{,}46$ et $\mathrm{e}^{\pi} \approx 23{,}14$.

4. L'égalité $p^{q} = q^{p}$ équivaut à $g(p) = g(q)$. Comme $g$ est strictement monotone sur $]0\,,\mathrm{e}]$ et sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$, les entiers $p < q$ ne peuvent être tous deux $\leqslant 2$, ni tous deux $\geqslant 3$ : donc $p \in \{1, 2\}$ et $q \geqslant 3$. Pour $p = 1$, $g(1) = 0 < g(q)$. Pour $p = 2$, il faut $g(q) = g(2) = g(4)$, avec $q$ et $4$ dans $[\mathrm{e}\,,+\infty[$, d'où $q = 4$. $$\boxed{(p, q) = (2, 4)}$$ C'est la figure de l'énoncé qui guide le raisonnement : une droite horizontale coupe la courbe en au plus deux points, l'un avant le sommet, l'autre après.