Exercice 32

1. C'est l'inégalité $\mathrm{e}^{x} \geqslant 1 + x$ de la proposition 5. $\boxed{a = \mathrm{e} \text{ convient}}$

2. La fonction $x \mapsto a^{x} = \mathrm{e}^{x\ln a}$ est dérivable, de dérivée $x \mapsto \ln(a)\,a^{x}$, qui vaut $\ln a$ en $0$. Le quotient est son taux d'accroissement en $0$. $$\boxed{\frac{a^{x} - 1}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} \ln a}$$ 3. Pour $x > 0$, l'inégalité $a^{x} - 1 \geqslant x$ donne $\frac{a^{x} - 1}{x} \geqslant 1$, et, en passant à la limite en $0^{+}$, $\ln a \geqslant 1$. Pour $x < 0$, la division par $x$ renverse l'inégalité : $\frac{a^{x} - 1}{x} \leqslant 1$, et la limite en $0^{-}$ donne $\ln a \leqslant 1$. $$\boxed{\ln a = 1, \ \text{ donc } a = \mathrm{e} \text{ est l'unique solution}}$$ 4. La tangente en $0$ à la courbe $y = a^{x}$ est la droite $y = 1 + x\ln a$. La droite $y = 1 + x$ passe par le point $(0, 1)$ de toutes ces courbes ; si elle n'en est pas la tangente, elle la traverse, et l'inégalité est fausse d'un côté de $0$. La base $\mathrm{e}$ est la seule dont la courbe exponentielle a une pente égale à $1$ en $0$.