Exercice 31

1. Par définition des puissances réelles, $\boxed{D = \,]0\,,+\infty[ \quad\text{et}\quad f(x) = \mathrm{e}^{x\ln x}}$

2. La fonction est dérivable, et $f'(x) = (\ln x + 1)\,x^{x}$, du signe de $\ln x + 1$ : $f$ décroît sur $]0\,,\frac{1}{\mathrm{e}}]$ et croît sur $[\frac{1}{\mathrm{e}}\,,+\infty[$. Par croissances comparées, $x\ln x \to 0$ en $0^{+}$, donc $f(x) \to 1$ ; en $+\infty$, $x\ln x \to +\infty$. $$\boxed{\min f = f\Big(\frac{1}{\mathrm{e}}\Big) = \mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}} \approx 0{,}692, \qquad \lim_{0^{+}} f = 1, \qquad \lim_{+\infty} f = +\infty}$$ 3. Posons $u = x\ln x$, qui tend vers $0$ en $0^{+}$. Alors $\dfrac{f(x) - 1}{x} = \dfrac{\mathrm{e}^{u} - 1}{u}\cdot\ln x$ ; le premier facteur tend vers $\exp'(0) = 1$, et le second vers $-\infty$. $$\boxed{\frac{f(x) - 1}{x} \xrightarrow[x \to 0^{+}]{} -\infty}$$ Si l'on prolonge $f$ en posant $f(0) = 1$, la courbe part du point $(0, 1)$ avec une tangente verticale.

4. On lit le nombre de solutions sur le tableau de variations, en tenant compte de ce que la valeur $1$ n'est pas atteinte en $0$. $$\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c} y & y < \mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}} & y = \mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}} & \mathrm{e}^{-1/\mathrm{e}} < y < 1 & y \geqslant 1 \\ \hline \text{nombre de solutions} & 0 & 1 & 2 & 1 \end{array}}$$