Exercice 30

(a) $\dfrac{(\ln x)^{2}}{\sqrt{x}} = \Big(\dfrac{\ln x}{x^{1/4}}\Big)^{2}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées. $\boxed{0}$

(b) $x^{1/x} = \mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}$, et $\frac{\ln x}{x} \to 0$. $\boxed{1}$

(c) Avec $u = \sqrt{x}$, $\dfrac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x^{10}} = \dfrac{\mathrm{e}^{u}}{u^{20}}$, qui tend vers $+\infty$. $\boxed{+\infty}$

(d) $x(\ln x)^{3} = \big(x^{1/3}\ln x\big)^{3}$, qui tend vers $0$ en $0^{+}$. $\boxed{0}$

(e) On a $(x^{x})^{x} = x^{x^{2}}$ d'après la proposition 7, de sorte que le quotient vaut $\exp\big((x^{2} - x^{x})\ln x\big)$. Or $\frac{x^{x}}{x^{2}} = \mathrm{e}^{(x - 2)\ln x} \to +\infty$, donc $x^{2} - x^{x} = x^{2}\big(1 - \frac{x^{x}}{x^{2}}\big) \to -\infty$, et l'exposant tend vers $-\infty$. $\boxed{0}$

(f) Pour $x > 1$, $x^{1/\ln x} = \mathrm{e}^{\frac{1}{\ln x}\ln x} = \mathrm{e}$ : la fonction est constante. $\boxed{\mathrm{e}}$

Les nombres $(x^{x})^{x} = x^{x^{2}}$ et $x^{(x^{x})}$ ne sont pas égaux en général : pour $x = 3$, le premier vaut $3^{9}$ et le second $3^{27}$. L'écriture $x^{x^{x}}$ sans parenthèses se lit toujours $x^{(x^{x})}$.