Exercice 29

(a) L'équation s'écrit $16 \cdot 2^{x} - 4 \cdot 2^{x} = 9 \cdot 3^{x} - 3^{x}$, soit $12 \cdot 2^{x} = 8 \cdot 3^{x}$, ou encore $\big(\frac{3}{2}\big)^{x} = \frac{3}{2}$. $$\boxed{x = 1}$$ (b) Avec $t = 2^{x} > 0$, on obtient $t^{2} + 2t - 15 = (t - 3)(t + 5) = 0$, donc $t = 3$. $$\boxed{x = \frac{\ln 3}{\ln 2}}$$ (c) Il faut $x > 0$. Les deux membres s'écrivent alors $\mathrm{e}^{\sqrt{x}\ln x}$ et $\exp\big(\frac{x}{2}\ln x\big)$, et l'équation équivaut à $\big(\sqrt{x} - \frac{x}{2}\big)\ln x = 0$, soit $\ln x = 0$ ou $\sqrt{x} = \frac{x}{2}$, c'est-à-dire $x = 1$ ou $\sqrt{x} = 2$. $$\boxed{x \in \{1, 4\}}$$ (d) En prenant le logarithme, $3x\ln 2 = y\ln 10$ et $x\ln 2 = y\ln 5$. En retranchant le triple de la seconde de la première, $0 = y(\ln 10 - 3\ln 5) = y\ln\frac{10}{125}$, donc $y = 0$, puis $x = 0$. $$\boxed{(x, y) = (0, 0)}$$