Exercice 28

1. Sur $]0\,,1]$, $x\ln x \leqslant 0 < 1$ : il n'y a pas de solution. Sur $[1\,,+\infty[$, la fonction $\varphi : x \mapsto x\ln x$ est dérivable, de dérivée $\ln x + 1 > 0$ : elle est strictement croissante. Comme $\varphi(1) = 0 < 1 < \mathrm{e} = \varphi(\mathrm{e})$, et que $\varphi([1\,,\mathrm{e}])$ est un intervalle d'après le théorème 2, la valeur $1$ est atteinte sur $]1\,,\mathrm{e}[$, une seule fois. $$\boxed{x\ln x = 1 \text{ a une unique solution } \alpha \in \,]1\,,\mathrm{e}[, \quad \alpha \approx 1{,}763}$$ 2. Pour $x \leqslant 0$, $\mathrm{e}^{x} - 1 \leqslant 0 < \mathrm{e}^{-x^{2}}$ : pas de solution. Sur $[0\,,+\infty[$, la fonction $h : x \mapsto \mathrm{e}^{x} - 1 - \mathrm{e}^{-x^{2}}$ a pour dérivée $\mathrm{e}^{x} + 2x\,\mathrm{e}^{-x^{2}} > 0$. Comme $h(0) = -1 < 0$ et $h(1) = \mathrm{e} - 1 - \frac{1}{\mathrm{e}} > 0$, la même méthode conclut. $$\boxed{\text{unique solution, dans } ]0\,,1[, \ \approx 0{,}552}$$ À retenir : l'existence vient du théorème 2, l'unicité de la stricte monotonie. Le chapitre 8 donnera la même conclusion par le théorème des valeurs intermédiaires, sans hypothèse de dérivabilité.